Πρόβλημα Fagnano

Θεώρημα Fagnano: Από όλα τα δυνατά εγγράψιμα τρίγωνα $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{Z}$ το ορθικό τρίγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο.

Στην γεωμετρία, το πρόβλημα Fagnano είναι το πρόβλημα που ζητά για ένα δοσμένο τρίγωνο ποιο είναι το εγγεγραμμένο του τρίγωνο με την ελάχιστη περίμετρο. Η λύση του προβλήματος είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου΄(θεώρημα Fagnano).Πρότυπο:Rp

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ το τρίγωνο $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{Z}$ με $\mathrm{\Delta }$ σημείο της $\mathrm{A}\mathrm{B}$, $\mathrm{E}$ σημείο της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{Z}$ σημείο της $\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}$ με ελάχιστη περίμετρο είναι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ των υψών (το ορθικό τρίγωνο).

Ιστορία

Ο Giovanni Fagnano δημοσίευσε το πρόβλημα καθώς και την λύση του το 1775. Η απόδειξη του χρησιμοποιεί λογισμό και ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα που απέδειξε ο πατέρας του, Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano. Έκτοτε πολλές αποδείξεις έχουν δοθεί, συμπεριλαμβανομένων από τους Hermann Schwarz και Lipót Fejér. Αυτές οι αποδείξεις στηρίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες των ανακλάσεων ώστε να αναπαρασταθεί η περίμετρος του τριγώνου ως ένα μονοπάτι ελάχιστου μήκους.

Γενίκευση

Το θεώρημα έχει γενικευθεί σε ορθοδιαγώνια τετράπλευρα.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρόβλημα Fagnano στο cut-the-knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για το πρόβλημα Fagnano στο Geogebra.
• Θεώρημα Fagnano στην Πινακοθήκη γεωμετρικών σχημάτων.
• Δραστηριότητα για το πρόβλημα Fragnano στο Geogebra.

Ξένα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Σημείο Φερμά