Συμμετρική διαφορά

Αρχείο:Symmetric difference gr.svg

Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $X$ και $Y$.

Στην θεωρία συνόλων, η συμμετρική διαφορά (ή διαζευτικό άθροισμα ή συμμετροδιαφορά) δύο συνόλων $A$ και $B$ είναι το σύνολο των στοιχείων τους που δεν περιέχονται στην τομή τους, ισοδύναμα τα στοιχεία που περιέχονται ακριβώς σε ένα από τα δύο σύνολα. Συμβολίζεται ως $A△B$ (ή $A\ominus B$) και ορίζεται ως

$A△B=\{x\in A\cup B:x\notin A\cap B\},$

όπου $A\cup B$ είναι η ένωση των δύο συνόλων και $A\cap B$ είναι η τομή τους, ή ισοδύναμα ως

$A△B=\{x\in A\cup B:x\in A\oplus x\in B\},$

όπου $\oplus$ η λογική αποκλειστική διάζευξη

Για παράδειγμα, η συμμετρική διαφορά των συνόλων $A=\{1,2,5,7,9\}$ και $B=\{2,3,4,5,8,9,11\}$ είναι το σύνολο

$A△B=\{1,3,4,7,8,11\}$.

Ιδιότητες

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• $A△B=B△A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• $A△(B△C)=(A△B)△C$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• $A△B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
• $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C)$ (επιμεριστική ιδιότητα ως προς την τομή).
• $A△B=A\cup B$ ανν τα δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους.
• $A△B=\mathrm{\varnothing }$ ανν $A=B$.

Γενικεύσεις

Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $X$ και $Y$.

Η συμμετρική διαφορά $n$ συνόλων $A_1,A_2,\dots ,A_n$ ορίζεται ως

$△(A_1,\dots ,A_n)=\{x\in A_1\cup \dots \cup A_n:(x\in A_1)\oplus \dots \oplus (x\in A_n)\}$,

δηλαδή το σύνολο των στοιχείων που εμφανίζονται σε μονό αριθμό συνόλων.

Δείτε επίσης

• Ένωση συνόλων
• Τομή συνόλων
• Αποκλειστική διάζευξη