Γωνία

Η γωνία $\widehat{x\mathrm{O}y}$ ορισμένη από τις ημιευθείες $\mathrm{O}x$ και $\mathrm{O}y$.

Στην γεωμετρία, επίπεδη γωνία ή απλά γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Πιο συγκεκριμένα, είναι το σύνολο των κοινών σημείων δύο ημιεπιπέδων, δηλαδή της τομής τους.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Αν οι ευθείες που ορίζουν τα ημιεπίπεδα τέμνονται σε κάποιο σημείο, τότε αυτό ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Σε κάθε μία από τις δύο ευθείες ανήκει μόνο ένα μέρος της στη γωνία, το μέρος που ανήκει είναι μία ημιευθεία με αρχή την κορυφή της γωνίας. Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές της γωνίας. Στο σχήμα, $\mathrm{O}$ είναι η κορυφή της γωνίας και $\mathrm{O}x$, $\mathrm{O}y$ οι δύο πλευρές της. Το σύνολο των σημείων της γωνίας που δεν ανήκουν στις πλευρές λέγεται εσωτερικό της γωνίας.

Είδη γωνιών

• Ευθεία γωνία είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
  • Κάθε γωνία μικρότερη από την ευθεία γωνία λέγεται κυρτή γωνία.
  • Κάθε γωνία μεγαλύτερη από την ευθεία γωνία λέγεται μη κυρτή γωνία ή γωνία ανάκλασης.

• Ορθή γωνία είναι η γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους.Πρότυπο:R
  • Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται οξεία γωνία.Πρότυπο:R
  • Κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται αμβλεία γωνία.Πρότυπο:R

• Μηδενική γωνία είναι μία γωνία της οποίας το εσωτερικό δεν περιέχει κανένα σημείο.Πρότυπο:R
• Πλήρης γωνία είναι μια γωνία της οποίας το εσωτερικό περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της.

Κάθε ημιευθεία μπορεί να ιδωθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Σύγκριση γωνιών

Έστω $\phi =\widehat{x\mathrm{O}y}$ και $\vartheta =\widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την $\mathrm{O}x$ με την $\mathrm{O}\text{'}{x}^{\prime }$, ώστε η $\mathrm{O}\text{'}{y}^{\prime }$ να βρίσκεται προς το μέρος της $\mathrm{O}y$.Πρότυπο:R

• Αν οι $\mathrm{O}y$ και $\mathrm{O}\text{'}{y}^{\prime }$ συμπίπτουν τότε λέμε ότι η γωνία $\phi$ είναι ίση με την $\vartheta$ και γράφουμε $\phi =\vartheta$.
• Αν η $\mathrm{O}\text{'}{y}^{\prime }$ βρίσκεται στο εσωτερικό της $\widehat{x\mathrm{O}y}$ τότε λέμε ότι η $\phi$ είναι μεγαλύτερη από την $\vartheta$ και γράφουμε $\phi >\vartheta$.
• Αν η $\mathrm{O}\text{'}{y}^{\prime }$ βρίσκεται στο εξωτερικό της $\widehat{x\mathrm{O}y}$ τότε λέμε ότι η $\phi$ είναι μικρότερη από την $\vartheta$ και γράφουμε $\phi <\vartheta$.

Πράξεις γωνιών

Έστω $\phi =\widehat{x\mathrm{O}y}$ και $\vartheta =\widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$ δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την $\mathrm{O}y$ με την $\mathrm{O}\text{'}{x}^{\prime }$, έτσι ώστε οι δύο γωνίες να είναι διαδοχικές.

• Άθροισμα των γωνιών $\phi$ και $\vartheta$ ορίζουμε τη γωνία $\widehat{x\mathrm{O}{y}^{\prime }}$ και γράφουμε $\widehat{x\mathrm{O}{y}^{\prime }}=\phi +\vartheta$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Έστω $n$ ένας φυσικός αριθμός. Αν ισχύει ότι

$\vartheta =\underset{n\text{ φορές}}{\underbrace{\phi +\dots +\phi }}$,

τότε λέμε ότι η $\vartheta$ είναι το $n$-πλάσιο γινόμενο της $\phi$ και γράφουμε $\vartheta =n\cdot \phi$. Γράφουμε επίσης $\vartheta =\frac{1}{n}\cdot \phi$ και λέμε ότι η $\widehat{x\mathrm{O}y}$ είναι το υπο-$n$-πλάσιο γινόμενο της $\widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$.Πρότυπο:R

• Έστω $m$ ένας φυσικός αριθμός και $\psi$ είναι μια γωνία για την οποία $\psi =m\cdot \phi$, τότε γράφουμε $\psi =\frac{m}{n}\cdot \vartheta$, και λέμε ότι η $\psi$ είναι το γινόμενο ρητού αριθμού με γωνία.Πρότυπο:R

Αν $\phi >\vartheta$, ταυτίζουμε την $\mathrm{O}x$ με την $\mathrm{O}\text{'}{x}^{\prime }$ έτσι ώστε η $\mathrm{O}\text{'}{y}^{\prime }$ να βρίσκεται στο εσωτερικό της $\widehat{x\mathrm{O}y}$.Πρότυπο:R

• Διαφορά της $\vartheta$ από την $\phi$ τη γωνία $\widehat{y\mathrm{O}{y}^{\prime }}$ και γράφουμε $\widehat{y\mathrm{O}{y}^{\prime }}=\phi -\vartheta$.

Μέτρηση γωνίας

Ως μέτρηση μιας γωνίας $\widehat{x\mathrm{O}y}$ εννοούμε την σύγκρισή της με μια άλλη γωνία, έστω $\widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$, την οποία θεωρούμε αυθαίρετα μοναδιαία. Αν ισχύει $\widehat{x\mathrm{O}y}=\frac{\mu }{\nu }\cdot \widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$, λέμε ότι το μέτρο ή το άνοιγμα της $\widehat{x\mathrm{O}y}$ ως προς την $\widehat{x^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{y}^{\prime }}$ είναι $\frac{\mu }{\nu }$. Το μέτρο μιας γωνίας συνδέεται και με το μέτρο τόξου σε κύκλο.

Για παράδειγμα, η γωνία ίση με το $\frac{1}{360}$ της πλήρους γωνίας είναι η γωνία $1^{\circ }$. Αντίστοιχα, ένα ακτίνιο είναι το $\frac{1}{2\pi }$ της πλήρους γωνίας.

Συνοπτικά

Τύπος	οξεία	ορθή	αμβλεία	ευθεία	ανάκλασης	περιγώνια
Μονάδες	Εύρος τιμών
Στροφή	(0,  Πρότυπο:Sfrac)	Πρότυπο:Sfrac	(Πρότυπο:Sfrac,  Πρότυπο:Sfrac)	Πρότυπο:Sfrac	(Πρότυπο:Sfrac,  1)	1
Ακτίνια	(0, Πρότυπο:SfracΠρότυπο:Pi)	Πρότυπο:SfracΠρότυπο:Pi	(Πρότυπο:SfracΠρότυπο:Pi, Πρότυπο:Pi)	Πρότυπο:Pi	(Πρότυπο:Pi, 2Πρότυπο:Pi)	2Πρότυπο:Pi
Μοίρες	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
Βαθμοί	(0, 100)g	100g	(100, 200)g	200g	(200, 400)g	400g

Είδη από ζεύγη γωνιών

• Εφεξής γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες με κοινή κορυφή, μία κοινή πλευρά και τις μη-κοινές πλευρές τους εκατέρωθεν της κοινής.

• Κατακορυφήν γωνίες λέγονται δύο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι οι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.Πρότυπο:R

• Παραπληρωματικές γωνίες λέγονται δύο γωνίες που το άθροισμα τους ισούται με μια ευθεία γωνία.Πρότυπο:R
  Συμπληρωματικές γωνίες λέγονται δυο γωνίες που το άθροισμα τους ισούται με μια ορθή γωνία.Πρότυπο:R

Γωνίες εντός, εκτός, εναλλάξ και επί τα αυτά ευθειών.

• Έστω $\delta$ και $\epsilon$ δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία $\zeta$ στα σημεία αντίστοιχα $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$. Σχηματίζονται οχτώ γωνίες, όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά.Πρότυπο:R
  • Οι γωνίες ${\hat{\mathrm{A}}}_1$, ${\hat{\mathrm{A}}}_2$, ${\hat{\mathrm{B}}}_3$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_4$ λέγονται εκτός των $\delta$ και $\epsilon$ αντίστοιχα.
  • Οι ${\hat{\mathrm{A}}}_3$, ${\hat{\mathrm{A}}}_4$, ${\hat{\mathrm{B}}}_1$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_2$ λέγονται εντός των $\delta$ και $\epsilon$ αντίστοιχα.
  • Δύο γωνίες οι οποίες βρίσκονται εκατέρωθεν της $\zeta$ λέγονται γωνίες εναλλάξ (της $\zeta$). Για παράδειγμα, οι ${\hat{\mathrm{A}}}_3$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_1$ είναι γωνίες εναλλάξ της $\zeta$, όπως επίσης και οι γωνίες ${\hat{\mathrm{A}}}_4$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_2$.
  • Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της $\zeta$ λέγονται επί τα αυτά μέρη της $\zeta$. Για παράδειγμα, οι ${\hat{\mathrm{A}}}_2$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_2$ είναι επί τα αυτά μέρη της $\zeta$.

Υπάρχουν και συνδυασμοί των πιο πάνω, για παράδειγμα, οι γωνίες ${\hat{\mathrm{A}}}_1$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_1$ είναι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη της $\zeta$ και οι γωνίες ${\hat{\mathrm{A}}}_4$ και ${\hat{\mathrm{B}}}_1$ εντός και επί τα αυτά μέρη της $\zeta$.

Ιδιότητες

• Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε:
  • σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες,
  • σχηματίζουν τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες,
  • σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές.
• Δύο γωνίες που έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

• Πρότυπο:AnchorΔύο γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

• Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
• Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, και αντίστροφα.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες στην μορφή

${\epsilon }_1:y={\lambda }_{1}x+{\beta }_1$,

${\epsilon }_2:y={\lambda }_{2}x+{\beta }_2$,

που δεν είναι κάθετες μεταξύ τους και που δεν είναι παράλληλες προς τον άξονα ${\mathrm{y}}^{\prime }\mathrm{y}$. Τότε, για την γωνία τους $\phi$, έχουμε

$\tan \phi =\frac{{\lambda }_1-{\lambda }_2}{1+{\lambda }_1{\lambda }_2}$,

ενώ γενικότερα για την οξεία γωνία $\phi$ των ευθειών έχουμε

$\tan \phi =\left|\frac{{\lambda }_1-{\lambda }_2}{1+{\lambda }_1{\lambda }_2}\right|$.

Σχετικές έννοιες

Η διχοτόμος $\mathrm{O}\delta$ της γωνίας $\widehat{x\mathrm{O}y}$.

Διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Για τις διχοτόμους, ισχύουν οι δύο εξής βασικές ιδιότητες:

• Οι διχοτόμοι δυο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
• Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.

Γενικεύσεις

Οι γωνίες ορίζονται επίσης με την τομή δυο επιπέδων, τόσο στον Ευκλείδειο, όσο και σε άλλους χώρους. Αυτές οι γωνίες μεταξύ επιπέδων ονομάζονται δίεδρες γωνίες. Ως γωνίες που σχηματίζονται με τη τομή δύο καμπυλών ορίζονται οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες ημιευθείες που συναντιώνται στο σημείο τομής των δύο αυτών καμπυλών. Όμοιοι ορισμοί χρησιμοποιούνται και για τον τρισδιάστατο χώρο. Για παράδειγμα, μια «σφαιρική γωνία» σχηματίζεται από δυο μεγάλους κύκλους σε μια σφαίρα και είναι η δίεδρη γωνία ανάμεσα στα επίπεδα που ορίζονται από τους δυο μεγάλους κύκλους.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Ωρική γωνία
• Δίεδρη γωνία
• Στερεά γωνία