Εικασία του Σινγκμάστερ

Η εικασία του Σινγκμάστερ^[1] είναι μια εικασία στη συνδυαστική θεωρία αριθμών, που πήρε το όνομά της από τον Βρετανό μαθηματικό Ντέιβιντ Σινγκμάστερ, ο οποίος την πρότεινε το 1971. Δηλώνει ότι υπάρχει ένα πεπερασμένο άνω όριο για τις πολλαπλότητες^[2] των καταχωρήσεων στο τρίγωνο του Πασκάλ^[3] (εκτός από τον αριθμό 1, ο οποίος εμφανίζεται άπειρες φορές). Είναι σαφές ότι ο μόνος αριθμός που εμφανίζεται άπειρες φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι το 1, επειδή οποιοσδήποτε άλλος αριθμός x μπορεί να εμφανιστεί μόνο μέσα στις πρώτες x + 1 σειρές του τριγώνου.

Δήλωση

Έστω N(a) ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται ο αριθμός a > 1 στο τρίγωνο του Πασκάλ. Σε συμβολισμό Μεγάλο Ο (big O)^[4], η εικασία είναι:

N (a) = O (1) .

Γνωστό όριο

Ο Σιγκμάστερ (1971) έδειξε ότι

N (a) = O (\log a) .

Οι Άμποτ, Έρντος και Χάνσον (1974) (βλ. Βιβλιογραφικές αναφορές) βελτίωσαν την εκτίμηση σε:

N (a) = O (\frac{\log a}{\log \log a}) .

Το καλύτερο γνωστό προς το παρόν (άνευ όρων) όριο είναι

N (a) = O (\frac{(\log a) (\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}),

και οφείλεται στον Κέιν (2007). Οι Άμποτ, Έρντος και Χάνσον σημειώνουν ότι, υπό την προϋπόθεση της εικασίας του Κράμερ για τα κενά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών,

N (a) = O ((\log a)^{2 / 3 + ε})

ισχύει για κάθε $ε > 0$ .

Ο Σινγκμάστερ (1975) έδειξε ότι η Διοφαντική εξίσωση^[5]

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k + 2})

έχει απείρως πολλές λύσεις για τις δύο μεταβλητές n, k. Προκύπτει ότι υπάρχουν άπειρες καταχωρήσεις τριγώνου πολλαπλότητας τουλάχιστον 6: Για κάθε μη αρνητικό i, ένας αριθμός a με έξι εμφανίσεις στο τρίγωνο του Πασκάλ δίνεται από μία από τις δύο παραπάνω εκφράσεις με

n = F_{2 i + 2} F_{2 i + 3} - 1,

k = F_{2 i} F_{2 i + 3} - 1,

όπου F_j είναι ο jth αριθμός Φιμπονάτσι (δεικτοδοτημένος σύμφωνα με τη σύμβαση ότι F₀ = 0 και F₁ = 1). Οι δύο παραπάνω εκφράσεις εντοπίζουν δύο από τις εμφανίσεις- δύο άλλες εμφανίζονται συμμετρικά στο τρίγωνο σε σχέση με αυτές τις δύο- και οι άλλες δύο εμφανίσεις είναι στο $(\binom{a}{1})$ και $(\binom{a}{a - 1}) .$

Στοιχειώδη παραδείγματα

Το 2 εμφανίζεται μόνο μία φορά- όλοι οι μεγαλύτεροι θετικοί ακέραιοι εμφανίζονται περισσότερες από μία φορές,
3, 4, 5 ο καθένας εμφανίζεται δύο φορές- άπειροι αριθμοί εμφανίζονται ακριβώς δύο φορές,
όλοι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται δύο φορές,
Το 6 εμφανίζεται τρεις φορές, όπως και όλοι οι κεντρικοί διωνυμικοί συντελεστές εκτός από το 1 και το 2,

(δεν αποκλείεται κατ' αρχήν ένας τέτοιος συντελεστής να εμφανιστεί πέντε, επτά ή περισσότερες φορές, αλλά δεν είναι γνωστό τέτοιο παράδειγμα)

όλοι οι αριθμοί της μορφής $(\binom{p}{2})$ για τον πρώτο αριθμό $p > 3$ εμφανίζονται τέσσερις φορές,
Άπειροι πολλοί εμφανίζονται ακριβώς έξι φορές, συμπεριλαμβανομένου καθενός από τους ακόλουθους:

120 = (\binom{120}{1}) = (\binom{120}{119}) = (\binom{16}{2}) = (\binom{16}{14}) = (\binom{10}{3}) = (\binom{10}{7})

210 = (\binom{210}{1}) = (\binom{210}{209}) = (\binom{21}{2}) = (\binom{21}{19}) = (\binom{10}{4}) = (\binom{10}{6})

1540 = (\binom{1540}{1}) = (\binom{1540}{1539}) = (\binom{56}{2}) = (\binom{56}{54}) = (\binom{22}{3}) = (\binom{22}{19})

7140 = (\binom{7140}{1}) = (\binom{7140}{7139}) = (\binom{120}{2}) = (\binom{120}{118}) = (\binom{36}{3}) = (\binom{36}{33})

11628 = (\binom{11628}{1}) = (\binom{11628}{11627}) = (\binom{153}{2}) = (\binom{153}{151}) = (\binom{19}{5}) = (\binom{19}{14})

24310 = (\binom{24310}{1}) = (\binom{24310}{24309}) = (\binom{221}{2}) = (\binom{221}{219}) = (\binom{17}{8}) = (\binom{17}{9})

Ο επόμενος αριθμός στην άπειρη οικογένεια του Σινγκμάστερ (που δίνεται με βάση τους αριθμούς Φιμπονάτσι), και ο επόμενος μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται έξι ή περισσότερες φορές, είναι

a = 61218182743304701891431482520

:^[6]

a = (\binom{a}{1}) = (\binom{a}{a - 1}) = (\binom{104}{39}) = (\binom{104}{65}) = (\binom{103}{40}) = (\binom{103}{63})

Ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται οκτώ φορές - και μάλιστα ο μόνος γνωστός αριθμός που εμφανίζεται οκτώ φορές - είναι ο 3003, ο οποίος είναι επίσης μέλος της άπειρης οικογένειας αριθμών του Singmaster με πολλαπλότητα τουλάχιστον 6:

3003 = (\binom{3003}{1}) = (\binom{78}{2}) = (\binom{15}{5}) = (\binom{14}{6}) = (\binom{14}{8}) = (\binom{15}{10}) = (\binom{78}{76}) = (\binom{3003}{3002})

Δεν είναι γνωστό αν άπειροι αριθμοί εμφανίζονται οκτώ φορές, ούτε καν αν οποιοσδήποτε άλλος αριθμός εκτός από τον 3003 εμφανίζεται οκτώ φορές.

Ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται το n στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι

∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... Πρότυπο:OEIS

Σύμφωνα με τους Άμποτ, Έρντος και Χάνσον (1974), ο αριθμός των ακεραίων αριθμών όχι μεγαλύτερων από το x που εμφανίζονται πάνω από δύο φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι $O (x^{\frac{1}{2}})$ .

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το 1 που εμφανίζεται (τουλάχιστον) n φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι

2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... Πρότυπο:OEIS

Οι αριθμοί που εμφανίζονται τουλάχιστον πέντε φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι οι εξής

1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ... Πρότυπο:OEIS

Από αυτά, εκείνα που ανήκουν στην άπειρη οικογένεια του Σινγκμάστερ είναι τα εξής

1, 3003, 61218182743304701891431482520, ... Πρότυπο:OEIS

Ανοικτά ερωτήματα

Δεν είναι γνωστό αν κάποιος αριθμός εμφανίζεται περισσότερες από οκτώ φορές, ούτε αν κάποιος άλλος αριθμός εκτός από το 3003 εμφανίζεται τόσες φορές. Το εικαζόμενο πεπερασμένο άνω όριο θα μπορούσε να είναι τόσο μικρό όσο το 8, αλλά ο Σινγκμάστερ πίστευε ότι θα μπορούσε να είναι 10 ή 12. Είναι επίσης άγνωστο αν κάποιος αριθμός εμφανίζεται ακριβώς πέντε ή επτά φορές.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Citation.
Πρότυπο:Citation.
Πρότυπο:Anchor Πρότυπο:Citation
Πρότυπο:Cite journal
Πρότυπο:Cite journal
I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite web

[3] Πρότυπο:Cite web

[4] Πρότυπο:Cite web

[5] Πρότυπο:Cite book

[6] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Εικασία του Σινγκμάστερ

Περιεχόμενα

Δήλωση

Γνωστό όριο

Στοιχειώδη παραδείγματα

Ανοικτά ερωτήματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Εικασία του Σινγκμάστερ

Δήλωση

Γνωστό όριο

Στοιχειώδη παραδείγματα

Ανοικτά ερωτήματα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση