Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές $\mathrm{A},\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Πρότυπο:Multiple image Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.Πρότυπο:R

Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για κάθε πολύγωνο. Τα πολύγωνα με περιγεγραμμένο κύκλο λέγονται εγγεγραμμένα.

Μετρικές σχέσεις

• (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα $R$ περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι

$\frac{\alpha }{\sin \hat{\mathrm{A}}}=\frac{\beta }{\sin \hat{\mathrm{B}}}=\frac{\gamma }{\sin \hat{\mathrm{\Gamma }}}=2R.$

• Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν $\mathrm{E}=\frac{1}{2}\beta \gamma \sin \hat{\mathrm{A}}$, έχουμε ότι

$R=\frac{\alpha \beta \gamma }{4\mathrm{E}}$,

και από τον τύπο του Ήρωνα

$R=\frac{\alpha \beta \gamma }{4\sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$.

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

${\alpha }^2({\beta }^2+{\gamma }^2-{\alpha }^2):{\beta }^2({\gamma }^2+{\alpha }^2-{\beta }^2):{\gamma }^2({\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2).$

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

$\cos \hat{\mathrm{A}}:\cos \hat{\mathrm{B}}:\cos \hat{\mathrm{\Gamma }}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε

$\rho \cdot R=\frac{\alpha \beta \gamma }{2\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}$.

Σχετικά θεωρήματα

• (Ευθεία Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm{H}$ και το περίκεντρο $\mathrm{O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm{H}\mathrm{G}=2\cdot \mathrm{G}\mathrm{O}$.
• (Θεώρημα του Όιλερ) Αν $(\mathrm{I},\rho )$ είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και $({\mathrm{I}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}}),({\mathrm{I}}_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{B}}),({\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }})$ οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε

${\mathrm{O}\mathrm{I}}^2=R^2-2R\rho ,$ ${\mathrm{O}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{A}},$ ${\mathrm{O}{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{B}},$ και ${\mathrm{O}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}.$

• Αν $\mathrm{H}$ το ορθόκεντρο και $\mathrm{O}$ το περίκεντρο, τότε

${\mathrm{O}\mathrm{H}}^2=9R^2-({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αν $\rho$ η ακτίνα του εγεγγραμμένου και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε

$\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}+\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}+\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}=R+\rho$.

• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι τα ύψη του τριγώνου και $\mathrm{O}$ το περίκεντρο, τότε

${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}\perp \mathrm{O}\mathrm{\Gamma },$ ${\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}\perp \mathrm{O}\mathrm{A},$ και ${\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}\perp \mathrm{O}\mathrm{B}$.

• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:R
• (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm{P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}$ στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.Πρότυπο:R
• (Ευθεία Στάινερ) Για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm{P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι τα συμμετρικά του σημεία ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}$ ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.
• Το περίκεντρο είναι το σημείο $\mathrm{M}$ του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:

$f(\mathrm{M})=\max (\mathrm{M}\mathrm{A},\mathrm{M}\mathrm{B},\mathrm{M}\mathrm{\Gamma })$.

Ανισοτικές σχέσεις

• Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }>\mathrm{A}\mathrm{B}$ και περίκεντρο $\mathrm{O}$, ισχύει ότι $\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}>\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}$.Πρότυπο:R

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }$ και ακτίνα το μέγιστο από τα $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{B}$.
3. Βρίσκουμε τα σημεία τομής ${\mathrm{T}}_3$ και ${\mathrm{T}}_4$ των κύκλων με κέντρο το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{\Gamma }$.
4. Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$, και τα ${\mathrm{T}}_3$ και ${\mathrm{T}}_4$ αντίστοιχα.
5. Το σημείο τομής $\mathrm{O}$ αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος $\mathrm{O},\mathrm{A}$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

Κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ με κανόνα και διαβήτη.

Δείτε επίσης

• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Εγγεγραμμένο πολύγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Το περίκεντρο του τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
• Περιγεγραμμένος κύκλος στο Geogebra.