Δακτύλιος (μαθηματικά)

Ένας δακτύλιος

Απεικόνιση της μεθόδου οπτικού υπολογισμού του Μαμικόν που δείχνει ότι τα εμβαδά δύο δακτυλίων με το ίδιο μήκος χορδής είναι τα ίδια ανεξάρτητα από την εσωτερική και την εξωτερική ακτίνα.

Στα μαθηματικά, ο δακτύλιος (πληθ.: δακτύλιος ή δακτύλιοι) είναι η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων. Ανεπίσημα, έχει σχήμα δακτυλίου ή ροδέλας. Η ελληνική λέξη "δακτύλιος" προέρχεται από τα αρχαία ελληνικά ενώ στα αγγλικά χρησιμοποιείται η λατινική λέξη «annulus» που σημαίνει «δακτύλιος».

Ο ανοιχτός δακτύλιος είναι τοπολογικος ισομορφισμός τόσο με τον ανοιχτό κύλινδρο Πρότυπο:Math όσο και με το διάτρητο επίπεδο.

Περιοχή

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου είναι η διαφορά των εμβαδών του μεγαλύτερου κύκλου ακτίνας Πρότυπο:Math και του μικρότερου κύκλου ακτίνας Πρότυπο:Math:

$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2).$

Ως επακόλουθο του τύπου της χορδής, το εμβαδόν που οριοθετείται από τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον εγγεγραμμένο κύκλο κάθε μοναδιαίου κυρτού κανονικού πολυγώνου είναι Πρότυπο:Pi/4

Το εμβαδόν ενός δακτυλίου καθορίζεται από το μήκος του μεγαλύτερου ευθύγραμμου τμήματος εντός του δακτυλίου, το οποίο είναι η χορδή που εφάπτεται στον εσωτερικό κύκλο, Πρότυπο:Math στο συνοδευτικό διάγραμμα. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού η ευθεία αυτή εφάπτεται στον μικρότερο κύκλο και κάθετη στην ακτίνα του σε αυτό το σημείο, οπότε οι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα Πρότυπο:Math, και το εμβαδόν του δακτυλίου δίνεται από τη σχέση

$A=\pi (R^2-r^2)=\pi d^2.$

Το εμβαδόν μπορεί επίσης να ληφθεί μέσω του λογισμού διαιρώντας τον δακτύλιο σε έναν άπειρο αριθμό δακτυλίων απειροελάχιστου πλάτους Πρότυπο:Math και εμβαδού Πρότυπο:Math και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας από Πρότυπο:Math to Πρότυπο:Math:

$A=\underset{r}{\overset{R}{\int }}2\pi \rho d\rho =\pi (R^2-r^2).$

Το εμβαδόν ενός ενός δακτυλικού τομέα γωνίας Πρότυπο:Math, με Πρότυπο:Math που μετριέται σε ακτίνια, δίνεται από τη σχέση

$A=\frac{\theta }{2}(R^2-r^2).$

Σύνθετη δομή

Στην μιγαδική ανάλυση ένας δακτύλιος Πρότυπο:Math στο μιγαδικό επίπεδο είναι μια ανοικτή περιοχή που ορίζεται ως

$r<|z-a|<R.$

Αν Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Math, η περιοχή είναι γνωστή ως διάτρητος δίσκος (ένας δίσκος με μια σημειακή οπή στο κέντρο) ακτίνας Πρότυπο:Math γύρω από το σημείο Πρότυπο:Math.

Ως υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου, ένας δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως επιφάνεια Ρίμαν. Η μιγαδική δομή ενός δακτυλίου εξαρτάται μόνο από τον λόγο Πρότυπο:Math. Κάθε δακτύλιος Πρότυπο:Math μπορεί να απεικονιστεί ολόμορφα σε έναν τυπικό δακτύλιο με κέντρο την αρχή και εξωτερική ακτίνα 1 μέσω του χάρτη

$z\mapsto \frac{z-a}{R}.$

Η εσωτερική ακτίνα είναι τότε Πρότυπο:Math.

Το θεώρημα των τριών κύκλων του Χαντάμαρ είναι μια δήλωση σχετικά με τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει μια ολομορφική συνάρτηση μέσα σε ένα δακτύλιο.

Ο μετασχηματισμός Τζουκόφσκι απεικονίζει συμμορφικά έναν δακτύλιο σε μια έλλειψη με μια σχισμή που κόβεται μεταξύ των εστιών.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book On-line text at archive.org

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation, esp. chapter IV.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Δακτύλιος (άλγεβρα)
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Διανυσματική προβολή
• Διαβήτης (όργανο)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Λέοναρντ Όιλερ
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Μιγαδική ανάλυση
• Μιγαδικό επίπεδο
• Διανυσματική προβολή
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and .., page 342
• Encyclopaedia of Mathematics: Stochastic Approximation — Zygmund Class of., page 287
• Complex Dynamical Systems: The Mathematics Behind the Mandelbrot and Julia ... page 55...
• Operator Methods in Mathematical Physics: Conference on Operator Theory ..., page 107
• Dynamical Properties of Diffeomorphisms of the Annulus and of the Torus, ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation. In particular chapters III and IV.
• Πρότυπο:Cite book