Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος $(\mathrm{I},\rho )$ είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $({\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$, $({\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{B}})$ και $({\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }})$ που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του $({\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$ είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της $\hat{\mathrm{A}}$ και των εξωτερικών διχοτόμων των $\hat{\mathrm{B}}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}$, και ονομάζεται παράκεντρο του τριγώνου.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Ιδιότητες

• Το έγκεντρο $\mathrm{I}$ είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
• Η γωνία των διχοτόμων των $\hat{\mathrm{B}}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ είναι ίση με $90^{\circ }+\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}$.Πρότυπο:R

• Αν ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}$ οι προβολές του $\mathrm{I}$ στις πλευρές του τριγώνου, τότε

$\mathrm{B}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{B}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\beta },\mathrm{A}{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{A}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\alpha },$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\gamma }$.

• Το τρίγωνο ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}$ ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
• (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm{A}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.Πρότυπο:R
• Οι ευθείες $\mathrm{I}\mathrm{A},\mathrm{I}\mathrm{B},\mathrm{I}\mathrm{\Gamma }$ είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}$.
• (Σημείο Φόιερμπαχ) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
• Το εμβαδόν του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ δίνεται από τον τύπο Πρότυπο:Rp

$\mathrm{E}=\tau \cdot \rho$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

• Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλουΠρότυπο:Rp

$\rho =\sqrt{\frac{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}$.

• Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσειςΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$\rho =\alpha \cdot \frac{\sin \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}}=\beta \cdot \frac{\sin \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}}=\gamma \cdot \frac{\sin \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}\cdot \sin \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}$,

και από

$\rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}=(\tau -\beta )\cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}=(\tau -\gamma )\cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm{O},R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

${\mathrm{O}\mathrm{I}}^2=R^2-2R\rho$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αν $\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}},\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}},\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

$\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}\mathrm{+}\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}\mathrm{+}\mathrm{O}{\mathrm{M}}_{\mathrm{\Gamma }}=R+\rho$.

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι $1:1:1$.
• Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι $\alpha :\beta :\gamma$.
• Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι

$(\frac{\alpha \cdot x_{\mathrm{A}}+\beta \cdot x_{\mathrm{B}}+\gamma \cdot x_{\mathrm{\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma },\frac{\alpha \cdot y_{\mathrm{A}}+\beta \cdot y_{\mathrm{B}}+\gamma \cdot y_{\mathrm{\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma })$.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $({\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$, $({\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{B}})$ και $({\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }})$. Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος $({\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$ έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας $\hat{\mathrm{B}}$ και της $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ και της εσωτερικής διχοτόμου της $\hat{\mathrm{A}}$. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος $({\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$ με τις πλευρές $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma },\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ συμβολίζονται με ${{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime },{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{″},{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{‴}$ αντίστοιχα.

Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Ιδιότητες

• Τα παράκεντρα ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
• Τα σημεία $\mathrm{A},{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι συνευθειακά, καθώς και τα ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B},{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ και ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }$.
• Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των $\hat{\mathrm{B}}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ είναι ίση με $90^{\circ }-\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}$.Πρότυπο:R

• Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της $\hat{\mathrm{B}}$ και της εξωτερικής διχοτόμου της $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ είναι $\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}$.Πρότυπο:R

• (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime },\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{\prime },\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.Πρότυπο:R
• (Τρίγωνο Φόιερμπαχ) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
• Ισχύει ότι $\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\gamma }$, $\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\beta }$ και $\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{\prime }\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{″}\mathrm{=}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\gamma }$, όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ η ημιπερίμετρος.Πρότυπο:R

• Αν ${\mathrm{A}}^{\prime }$ το σημείο τομής της προέκτασης της $\mathrm{A}\mathrm{I}$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότεΠρότυπο:R

${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{I}\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αν $(\mathrm{O},R)$ είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε

${\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{A}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{A}},{\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{B}}$ και ${\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$.

• Το εμβαδόν του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ δίνεται από τους τύπους:Πρότυπο:R

$\mathrm{E}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\alpha }\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\beta }\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{\tau }\mathrm{-}\mathrm{\gamma }\mathrm{)}\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\Gamma }},$

και

$\mathrm{E}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{\rho }\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{A}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{\cdot }{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{\Gamma }}}$.

• Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύποΠρότυπο:RΠρότυπο:R

${\rho }_{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{E}}{\tau -\alpha }=\sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }},$ ${\rho }_{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{E}}{\tau -\beta }=\sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}$ και ${\rho }_{\mathrm{\Gamma }}=\frac{\mathrm{E}}{\tau -\gamma }=\sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}$.

• Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσειςΠρότυπο:RpΠρότυπο:RΠρότυπο:R

${\rho }_{\mathrm{A}}=\alpha \cdot \frac{\cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}}$, ${\rho }_{\mathrm{B}}=\beta \cdot \frac{\cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}}$ και ${\rho }_{\mathrm{\Gamma }}=\gamma \cdot \frac{\cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}}{\cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}$,

και επίσης

${\rho }_{\mathrm{A}}=\tau \cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}$, ${\rho }_{\mathrm{B}}=\tau \cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}$ και ${\rho }_{\mathrm{\Gamma }}=\tau \cdot \tan \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}$.

• (Σημείο Νάγκελ) Αν ${{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime },{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{\prime },{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }$ τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ με τις πλευρές $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma },\mathrm{B}\mathrm{\Gamma },\mathrm{A}\mathrm{B}$ του τριγώνου, τότε τα $\mathrm{A}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^{\prime },\mathrm{B}{{\mathrm{I}}_{\mathrm{B}}}^{\prime },\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{I}}_{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }$ συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
• Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ είναι ύψη του τριγώνου ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$.
• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι ${\rho }_{\mathrm{A}}+{\rho }_{\mathrm{B}}+{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}=\rho +4R$.Πρότυπο:R
• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι $-1:1:1$, $1:-1:1$ και $1:1:-1$ αντίστοιχα.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου