Όμοια τρίγωνα

Δύο όμοια τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ με λόγο ομοιότητας 2:1.

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα είναι όμοια αν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες και οι πλευρές τους ανάλογες.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Πιο συγκεκριμένα, δύο τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ είναι όμοια, αν $\hat{\mathrm{A}}\mathrm{=}\widehat{\phantom{\text{'}}{\mathrm{A}}^{\prime }}$, $\hat{\mathrm{B}}\mathrm{=}\widehat{\phantom{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\prime }}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\widehat{\phantom{\text{'}}{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}$, και

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}\mathrm{=}\frac{B\mathrm{\Gamma }}{B^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\mathrm{=}\frac{A\mathrm{\Gamma }}{A^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }$,

όπου $\lambda$ καλείται ο λόγος ομοιότητάς τους. Όταν $\lambda =1$, λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Συνήθως τα όμοια τρίγωνα συμβολίζονται ως $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\sim }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ ή $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$.

Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για να αποδειχθεί ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κριτήρια ομοιότητας τριγώνων.

Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων

Στις παρακάτω αποδείξεις θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βασική πρόταση, που είναι η 2^η Πρόταση στο 6^ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.

Κριτήρια ομοιότητας για ειδικά τρίγωνα

Για ειδικές περιπτώσεις τριγώνων, ισχύουν και τα εξής κριτήρια:Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

• Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια αν έχουν μία οξεία γωνία ίση.
• Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους.
• Δύο ισοσκελή τρίγωνα με αντίστοιχες γωνίες ίσες είναι όμοια μεταξύ τους.
• Δύο ορθογώνια τρίγωνα με τις κάθετες πλευρές τους ανάλογες είναι όμοια.
• Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τους τις πλευρές τους κάθετες ή παράλληλες, είναι όμοια.

Ιδιότητες

• Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων τριγώνων ισούται με τον λόγο ομοιότητάς τους.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

• Ο λόγος των εμβαδών ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους.Πρότυπο:R

• Έστω δύο όμοια τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ με λόγο ομοιότητας $\lambda$. Επίσης έστω $\mathrm{M}$ σημείο της $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και σημείο ${\mathrm{M}}^{\prime }$ της ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ τέτοια ώστε

$\frac{AM}{BM}\mathrm{=}\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{B^{\prime }{M}^{\prime }}$.

Τότε, ισχύει ότι

$\frac{AM}{A^{\prime }{M}^{\prime }}\mathrm{=}\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\Gamma }M}{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{M}^{\prime }}\mathrm{=}\mathrm{\lambda }$.

• Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει σε δύο όμοια τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ με λόγο ομοιότητας $\lambda$ οι διάμεσοι ${\mu }_{\alpha },{\mu }_{\beta },{\mu }_{\gamma }$, ικανοποιούν

$\frac{{\mu }_{\alpha }}{{\mu }_{{\alpha }^{\prime }}}=\frac{{\mu }_{\beta }}{{\mu }_{{\beta }^{\prime }}}=\frac{{\mu }_{\gamma }}{{\mu }_{{\gamma }^{\prime }}}=\lambda$,

τα ύψη ${\upsilon }_{\alpha },{\upsilon }_{\beta },{\upsilon }_{\gamma }$ ικανοποιούν

$\frac{{\upsilon }_{\alpha }}{{\upsilon }_{{\alpha }^{\prime }}}=\frac{{\upsilon }_{\beta }}{{\upsilon }_{{\beta }^{\prime }}}=\frac{{\upsilon }_{\gamma }}{{\upsilon }_{{\gamma }^{\prime }}}=\lambda$,

και οι διχοτόμοι ${\delta }_{\alpha },{\delta }_{\beta },{\delta }_{\gamma }$ ικανοποιούν

$\frac{{\delta }_{\alpha }}{{\delta }_{{\alpha }^{\prime }}}=\frac{{\delta }_{\beta }}{{\delta }_{{\beta }^{\prime }}}=\frac{{\delta }_{\gamma }}{{\delta }_{{\gamma }^{\prime }}}=\lambda$.

Η σχέση ομοιότητας τριγώνων $\approx$ είναι σχέση ισοδυναμίας:Πρότυπο:R

• Ένα τρίγωνο είναι όμοιο με τον εαυτό του, $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ τότε και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\mathrm{\approx }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{\Gamma }}^{″}$, τότε $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\approx }{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{\Gamma }}^{″}$ (μεταβατική ιδιότητα).

Εφαρμογές

Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για παράδειγμα,

• στο Πυθαγόρειο θεώρημα,
• στο θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης, και στο θεώρημα τεμνουσών,
• στο Θεώρημα του Πτολεμαίου
• στο θεώρημα του Όιλερ
• στο θεώρημα πεταλούδας

Δείτε επίσης

• Ομοιότητα (γεωμετρία)
• Ίσα τρίγωνα