Σπειροειδής ομοιότητα

Μια σπειροειδής ομοιότητα που μεταφέρει το τρίγωνο ABC στο τρίγωνο A'B'C'.

Η σπειροειδής ομοιότητα είναι ένας μετασχηματισμός επιπέδου στα μαθηματικά που αποτελείται από μια περιστροφή και μια διαστολή. Χρησιμοποιείται ευρέως στην Ευκλείδεια γεωμετρία για να διευκολύνει την απόδειξη πολλών θεωρημάτων και άλλων αποτελεσμάτων στη γεωμετρία, ιδίως σε μαθηματικούς διαγωνισμούς και ολυμπιάδες. Αν και η προέλευση αυτής της ιδέας δεν είναι γνωστή, καταγράφηκε το 1967 από τον Κόξετερ στο βιβλίο του Geometry Revisited (Αναθεώρηση της γεωμετρίας) και το 1969 - χρησιμοποιώντας τον όρο «dilative rotation» - στο βιβλίο του Introduction to Geometry (Εισαγωγή στη Γεωμετρία).

Το ακόλουθο θεώρημα είναι σημαντικό για το ευκλείδειο επίπεδο:
Κάθε δύο άμεσα όμοια σχήματα συνδέονται είτε με μετατόπιση είτε με σπειροειδή ομοιότητα.
(Συμβουλή: Τα άμεσα όμοια σχήματα είναι όμοια και έχουν τον ίδιο προσανατολισμό)

Ορισμός

Μια σπειροειδής ομοιότητα $S$ αποτελείται από μια περιστροφή του επιπέδου που ακολουθείται από μια διαστολή γύρω από ένα κέντρο $O$ με συντεταγμένες $c$ στο επίπεδο. Εκφράζοντας την περιστροφή με έναν γραμμικό μετασχηματισμό $T(x)$ και τη διαστολή ως πολλαπλασιασμό με έναν παράγοντα κλίμακας $d$, ένα σημείο $p$ αντιστοιχίζεται σε

$S(p)=d(T(p-c))+c.$

Στο μιγαδικό επίπεδο, οποιαδήποτε σπειροειδής ομοιότητα μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή $T(x)=x_0+\alpha (x-x_0)$, όπου $\alpha$ είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Το μέγεθος $|\alpha |$ είναι ο παράγοντας διαστολής της σπειροειδούς ομοιότητας και το επιχείρημα $\text{arg}(\alpha )$ είναι η γωνία περιστροφής.

Ιδιότητες

Δύο κύκλοι

Σπειροειδής ομοιότητα

Έστω T μια σπειροειδής ομοιότητα που απεικονίζει τον κύκλο k στον k' με k $\cap$ k' = {C, D} και σταθερό σημείο C.

Τότε για κάθε σημείο P $\in$ k τα σημεία P, T(P)= P' και D είναι συγγραμμικά.

Παρατήρηση: Αυτή η ιδιότητα είναι η βάση για την κατασκευή του κέντρου μιας σπειροειδούς ομοιότητας για δύο γραμμικά τμήματα.

Απόδειξη:

$\mathrm{\angle }CMP=\mathrm{\angle }C{M}^{\prime }{P}^{\prime }$, καθώς η περιστροφή και η διαστολή διατηρούν τις γωνίες.

$\mathrm{\angle }{P}^{\prime }DC+\mathrm{\angle }CDP=180^{\circ }$, καθώς αν η ακτίνα $\overline{MD}$ τέμνει τη χορδή $\overline{CP}$ , τότε η $\overline{M^{\prime }D}$ δεν συναντά την $\overline{C{P}^{\prime }}$ , και αν η $\overline{MD}$ δεν τέμνει την $\overline{CP}$, τότε η $\overline{M^{\prime }D}$ τέμνει την $\overline{C{P}^{\prime }}$, οπότε η μία από αυτές τις γωνίες είναι $\beta$ και η άλλη είναι $180^{\circ }-\beta$.

Επομένως, τα P, P' και D είναι συγγραμμικά.

Κέντρο σπειροειδούς ομοιότητας για δύο ευθύγραμμα τμήματα

Μέσω της διαστολής μιας γραμμής, της περιστροφής και της μεταφοράς, οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να απεικονιστεί σε οποιοδήποτε άλλο μέσω της σειράς των μετασχηματισμών του επιπέδου. Μπορούμε να βρούμε το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας μέσω της ακόλουθης κατασκευής:

• Σχεδιάστε τις ευθείες $\overline{AC}$ και $\overline{BD}$, και έστω $P$ η τομή των δύο ευθειών.
• Σχεδιάστε τις περιμέτρους των τριγώνων $\mathrm{△}PAB$ and $\mathrm{△}PCD$.
• Οι περίκυκλοι τέμνονται σε ένα δεύτερο σημείο $X\ne P$. Τότε το $X$ είναι το κέντρο της σπείρας που απεικονίζει την $\overline{AB}$ στην $\overline{CD}.$

Απόδειξη: Σημειώστε ότι τα $ABPX$ και $XPCD$ είναι εγγεγραμμένα τετράπλευρα. Επομένως, $\mathrm{\angle }XAB=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BPX=\mathrm{\angle }XPD=\mathrm{\angle }XCD$. Ομοίως, $\mathrm{\angle }ABX=\mathrm{\angle }APX=180^{\circ }-\mathrm{\angle }XPC=\mathrm{\angle }XDC$. Συνεπώς, από την ομοιότητα ΑΑ, τα τρίγωνα $XAB$ και $XCD$ είναι όμοια. Επομένως, $\mathrm{\angle }AXB=\mathrm{\angle }CXD,$ οπότε μια γωνία περιστροφής που απεικονίζει το $A$ στο $B$ απεικονίζει επίσης το $C$ στο $D$. Ο συντελεστής διαστολής είναι τότε απλώς ο λόγος των μηκών των πλευρών $\overline{CD}$ προς $\overline{AB}$.

Λύση με μιγαδικούς αριθμούς

Αν εκφράσουμε τα $A,B,C,$ και $D$ ως σημεία στο μιγαδικό επίπεδο με αντίστοιχους μιγαδικούς αριθμούς $a,b,c,$ και $d$, μπορούμε να λύσουμε την έκφραση της σπειροειδούς ομοιότητας που οδηγεί το $A$ στο $C$ και το $B$ στο $D$. Σημειώστε ότι $T(a)=x_0+\alpha (a-x_0)$ και $T(b)=x_0+\alpha (b-x_0)$, οπότε $\frac{T(b)-T(a)}{b-a}=\alpha$. Δεδομένου ότι $T(a)=c$ και $T(b)=d$, συνδέουμε για να λάβουμε $\alpha =\frac{d-c}{b-a}$, από το οποίο προκύπτει $x_0=\frac{ad-bc}{a+d-b-c}$.

Ζεύγη σπειροειδών ομοιοτήτων

Για οποιαδήποτε σημεία $A,B,C,$ και $D$, το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που παίρνει $\overline{AB}$ προς $\overline{CD}$ είναι επίσης το κέντρο μιας σπειροειδούς ομοιότητας που παίρνει $\overline{AC}$ προς $\overline{BD}$.

Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό μέσω της παραπάνω κατασκευής. Αν αφήσουμε $X$ να είναι το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που παίρνει την $\overline{AB}$ με την $\overline{CD}$, τότε $\mathrm{△}XAB\sim \mathrm{△}XCD$. Επομένως, $\mathrm{\angle }AXC=\mathrm{\angle }AXB+\mathrm{\angle }BXC=\mathrm{\angle }CXD+\mathrm{\angle }BXC=\mathrm{\angle }BXD$. Επίσης, $\frac{AX}{BX}=\frac{CX}{DX}$ συνεπάγεται ότι $\frac{AX}{CX}=\frac{BX}{DX}$. Έτσι, μέσω της ομοιότητας SAS, βλέπουμε ότι $\mathrm{△}AXC\sim \mathrm{△}BXD$. Έτσι, το $X$ είναι επίσης το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που οδηγεί την $\overline{AC}$ στην $\overline{BD}$.

Συμπεράσματα

Απόδειξη του τετραπλευρικού θεωρήματος του Μικέλ

Η σπειροειδής ομοιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη του τετραπλευρικού θεωρήματος του Μικέλ: δεδομένων τεσσάρων μη συγγραμμικών σημείων $A,B,C,$ και $D$, οι περίμετροι των τεσσάρων τριγώνων $\mathrm{△}PAB,\mathrm{△}PDC,\mathrm{△}QAD,$ και $\mathrm{△}QBC$ τέμνονται σε ένα σημείο, όπου $P$ είναι η τομή των $AD$ και $BC$ και $Q$ είναι η τομή των $AB$ και $CD$ (βλέπε διάγραμμα).

Έστω $M$ το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που οδηγεί το $AB$ στο $DC$. Σύμφωνα με την παραπάνω κατασκευή, οι περίμετροι του $\mathrm{△}PAB$ και του $\mathrm{△}PDC$ τέμνονται στα $M$ και $P$. Αφού το $M$ είναι επίσης το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που παίρνει το $DA$ στο $BC$, με παρόμοιο συλλογισμό οι περίμετροι του $\mathrm{△}QAD$ και του $\mathrm{△}QBC$ συναντώνται στα $Q$ και $M$. Συνεπώς, και οι τέσσερις κύκλοι τέμνονται στο $M$.

Παράδειγμα προβλήματος

Ακολουθεί ένα πρόβλημα-παράδειγμα για τους τελικούς της Ιαπωνίας 2018 MO, το οποίο μπορεί να λυθεί με τη χρήση της σπειροειδούς ομοιότητας:

Δεδομένου ενός σκαληνού τριγώνου

$ABC$

, έστω

$D$

και

$E$

σημεία στα τμήματα

$AB$

και

$AC$

, αντίστοιχα, έτσι ώστε

$CA=CD,BA=BE$

. Έστω

$\omega$

το περίγραμμα του τριγώνου

$ADE$

και

$P$

η αντανάκλαση του

$A$

στο

$BC$

. Οι ευθείες

$PD$

και

$PE$

συναντούν το

$\omega$

και πάλι στις

$X$

και

$Y$

, αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι οι

$BX$

και

$CY$

τέμνονται στο

$\omega$

.

Απόδειξη: Αποδεικνύουμε πρώτα τους ακόλουθους ισχυρισμούς:

Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο $PBEC$ είναι κυκλικό.

Απόδειξη: Αφού το $\mathrm{△}BAE$ είναι ισοσκελές, παρατηρούμε ότι $\mathrm{\angle }BPC=\mathrm{\angle }BAC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }BEC,$ αποδεικνύοντας έτσι ότι το τετράπλευρο $PBEC$ είναι κυκλικό, όπως είναι επιθυμητό. Με συμμετρία, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο $PBDC$ είναι κυκλικό.

Ισχυρισμός 2: $\mathrm{△}AXY\sim \mathrm{△}ABC.$

Απόδειξη: Έχουμε ότι $\mathrm{\angle }AXY=180^{\circ }-\mathrm{\angle }AEY=\mathrm{\angle }YEC=\mathrm{\angle }PEC=\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }ABC.$ Με παρόμοιο συλλογισμό, $\mathrm{\angle }AYX=\mathrm{\angle }ACB,$ οπότε από την ομοιότητα AA, $\mathrm{△}AXY\sim \mathrm{△}ABC,$ όπως είναι επιθυμητό.

Σημειώνουμε τώρα ότι το $A$ είναι το σπειροειδές κέντρο που απεικονίζει το $XY$ στο $BC$. Έστω $F$ η τομή των $BX$ και $CY$. Από την παραπάνω κατασκευή της σπειροειδούς ομοιότητας, το κέντρο της σπείρας πρέπει να είναι το σημείο τομής των περιφερειών του $\mathrm{△}FXY$ και του $\mathrm{△}FBC$. Ωστόσο, το σημείο αυτό είναι το $A$, οπότε τα σημεία $A,F,X,Y$ πρέπει να είναι κυκλικά. Επομένως, το $F$ πρέπει να βρίσκεται στο $\omega$, όπως είναι επιθυμητό.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book On-line text at archive.org

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation

• Πρότυπο:Citation
• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Retrieved April 29, 2014, from www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, January 1). BioMath: Transformation of Graphs. Retrieved April 29, 2014
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation, esp. chapter IV.
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Διανυσματική προβολή
• Διαβήτης (όργανο)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Μιγαδική ανάλυση
• Μιγαδικό επίπεδο
• Διανυσματική προβολή
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics page 2802.
• Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research.., page 118
• Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, page 198
• USA and International Mathematical Olympiads, 2003 ... page 68...
• Proofs in Competition Math: Volume 1.., page 289
• Geometry Revisited, Τόμος 19, page 98....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation. In particular chapters III and IV.
• Πρότυπο:Cite book