Εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ

Στην αριθμητική γεωμετρία, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ^[1] είναι ένα άλυτο πρόβλημα που εικάζεται από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ σχετικά με την πυκνότητα Ζαρίσκι του συνόλου των ρητών σημείων μιας αλγεβρικής ποικιλίας γενικού τύπου.

Δήλωση

Η αδύναμη εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ για επιφάνειες δηλώνει ότι αν $X$ είναι μια λεία επιφάνεια γενικού τύπου που ορίζεται πάνω από ένα αριθμητικό σώμα $k$ τότε ταΠρότυπο:Nowrap σημεία της $X$ δεν σχηματίζουν ένα πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι στην $X$ .^[2]

Η γενική μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν η $X$ είναι μια θετικά διαστατική αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα $k$ , τότε τα Πρότυπο:Nowrap σημεία της $X$ δεν σχηματίζουν πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι.^[3]^[4]^[5]

Η εκλεπτυσμένη μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν $X$ είναι μια αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα $k$ , τότε υπάρχει ένα πυκνό ανοικτό υποσύνολο $U$ του $X$ τέτοιο ώστε για όλες τις επεκτάσεις του αριθμητικού σώματος $k^{'}$ πάνω στο $k$ , το σύνολο των Πρότυπο:Nowrap σημείων στο $U$ να είναι πεπερασμένο.^[5]

Ιστορία

Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ διατυπώθηκε ανεξάρτητα από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ. Σε μια διάλεξη του 1980 στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, ο Ενρίκο Μπομπιέρι έθεσε ένα πρόβλημα σχετικά με τον εκφυλισμό των ρητών σημείων για επιφάνειες γενικού τύπου.^[2] Ανεξάρτητα σε μια σειρά εργασιών που ξεκίνησαν το 1971, ο Σερζ Λανγκ υπέθεσε μια γενικότερη σχέση μεταξύ της κατανομής των ρητών σημείων και της αλγεβρικής υπερβολικότητας,^[2]^[6]^[7]^[8] που διατυπώθηκε στην «εκλεπτυσμένη μορφή» της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ.^[5]

Γενικεύσεις και επιπτώσεις

Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ είναι ένα ανάλογο για τις επιφάνειες του θεωρήματος του Φάλτινγκς, το οποίο δηλώνει ότι οι αλγεβρικές καμπύλες γένους μεγαλύτερου του ενός έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ρητά σημεία.^[9]

Αν αληθεύει, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ θα έλυνε το πρόβλημα Έρντος-Ουλάμ, καθώς θα σήμαινε ότι δεν υπάρχουν πυκνά υποσύνολα του Ευκλείδειου επιπέδου των οποίων όλες οι αποστάσεις ανά ζεύγη είναι ρητές.^[9]^[10]

Το 1997, οι Λουτσία Καποράσο, Μπάρι Μαζούρ, Τζο Χάρις και Πατρίσια Πατσέλι έδειξαν ότι η εικασία των Μπομπιέρι-Λανγκ συνεπάγεται μια ομοιόμορφη εικασία οριοθετημένων σημείων για ρητά σημεία^[11]: υπάρχει μια σταθερά $B_{g, d}$ που εξαρτάται μόνο από τα $g$ και $d$ έτσι ώστε ο αριθμός των ρητών σημείων οποιασδήποτε καμπύλης $X$ γένους $g$ πάνω σε οποιοδήποτε αριθμητικό σώμα βαθμού $d$ να είναι το πολύ $B_{g, d}$ .^[3]^[4]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite web

[Das-Turchet-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Πρότυπο:Citation

[Poonen-3] 3,0 ^3,1 Πρότυπο:Citation

[CUV-4] 4,0 ^4,1 Πρότυπο:Citation

[Hindry-Silverman-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Πρότυπο:Citation

[6] Πρότυπο:Citation

[7] Πρότυπο:Citation

[8] Πρότυπο:Citation

[Tao-9] 9,0 ^9,1 Πρότυπο:Citation

[10] Πρότυπο:Citation

[11] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ

Περιεχόμενα

Δήλωση

Ιστορία

Γενικεύσεις και επιπτώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ

Δήλωση

Ιστορία

Γενικεύσεις και επιπτώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση