Ολοκλήρωμα Φρέσνελ

Διαγράμματα των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Το μέγιστο του Πρότυπο:Math είναι περίπου Πρότυπο:Val. Εάν τα ολοκληρώματα των Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar ορίζονταν χρησιμοποιώντας Πρότυπο:Math αντί για Πρότυπο:Math, τότε η εικόνα θα κλιμακωνόταν κάθετα και οριζόντια (βλέπε παρακάτω).

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι δύο υπερβατικές συναρτήσεις που πήραν το όνομά τους από τον Αουγκουστέν-Ζαν Φρέσνελ και χρησιμοποιούνται στην οπτική ενώ σχετίζονται στενά με τη συνάρτηση σφάλματος (erf). Προκύπτουν κατά την περιγραφή των φαινομένων περίθλασης Φρέσνελ κοντινού πεδίου και ορίζονται μέσω των ακόλουθων ολοκληρωτικών παραστάσεων:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(t^2\right)dt,C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(t^2\right)dt.$

Η παραμετρική καμπύλη $(S(t),C(t))$ είναι η σπείρα του Όιλερ ή το κλωθοειδές, μια καμπύλη της οποίας η καμπυλότητα μεταβάλλεται γραμμικά με το μήκος του τόξου.

Ο όρος ολοκλήρωμα Φρέσνελ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο μιγαδικό ορισμένο ολοκλήρωμα

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\pm ia{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\pm i\pi /4}$

όπου Πρότυπο:Math είναι πραγματικό και θετικό- αυτό μπορεί να εκτιμηθεί κλείνοντας ένα περίγραμμα στο μιγαδικό επίπεδο και εφαρμόζοντας το θεώρημα ολοκληρωμάτων του Κωσύ.

Ορισμός

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ με επιχειρήματα Πρότυπο:Math αντί για Πρότυπο:Math συγκλίνουν στο Πρότυπο:Sfrac αντί για Πρότυπο:Math.

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ δέχονται τα ακόλουθα αναπτύγματα δυναμοσειρών που συγκλίνουν για όλα τα Πρότυπο:Mvar:

$\begin{array}{cc}S(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin \left(t^2\right)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},\\ C(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos \left(t^2\right)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.\end{array}$

Ορισμένοι ευρέως χρησιμοποιούμενοι πίνακεςΠρότυπο:SfnΠρότυπο:Sfn χρησιμοποιούν Πρότυπο:Math αντί για Πρότυπο:Math για το επιχείρημα των ολοκληρωμάτων που ορίζουν τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Αυτό αλλάζει τα όριά τους στο άπειρο από 1/2-√π/2 σε Πρότυπο:MathΠρότυπο:SfracΠρότυπο:Sfn και το μήκος τόξου για την πρώτη σπειροειδή στροφή από Πρότυπο:Math σε 2 (at Πρότυπο:Math). Αυτές οι εναλλακτικές συναρτήσεις είναι συνήθως γνωστές ως κανονικοποιημένα ολοκληρώματα Φρέσνελ.

Σπείρα Όιλερ

Κύριο άρθρο: σπείρα Όιλερ

Σπείρα Όιλερ Πρότυπο:Math. Η σπείρα συγκλίνει στο κέντρο των οπών της εικόνας καθώς Πρότυπο:Mvar τείνει στο θετικό ή αρνητικό άπειρο.

Η σπείρα Όιλερ, επίσης γνωστή ως σπείρα Κορνού ή κλωθοειδής, είναι η καμπύλη που δημιουργείται από την παραμετρική γραφική παράσταση του Πρότυπο:Math έναντι του Πρότυπο:Math. Η σπείρα Όιλερ μελετήθηκε για πρώτη φορά στα μέσα του 18ου αιώνα από τον Λέοναρντ Όιλερ στο πλαίσιο της θεωρίας δοκού Όιλερ-Μπερνούλι. Έναν αιώνα αργότερα, η Μαρί Άλφρεντ Κορνού κατασκεύασε την ίδια σπείρα ως νομόγραμμα για υπολογισμούς περίθλασης.

Από τους ορισμούς των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ, τα απειροστά Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar είναι έτσι:

$\begin{array}{cc}dx& =C^{\prime }(t)dt=\cos \left(t^2\right)dt,\\ dy& =S^{\prime }(t)dt=\sin \left(t^2\right)dt.\end{array}$

Έτσι, το μήκος της σπείρας που μετράται από την αρχή μπορεί να εκφραστεί ως εξής

$L=\underset{0}{\overset{t_0}{\int }}\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\underset{0}{\overset{t_0}{\int }}dt=t_0.$

Δηλαδή, η παράμετρος Πρότυπο:Mvar είναι το μήκος της καμπύλης μετρούμενο από την αρχή Πρότυπο:Math και η σπείρα Όιλερ έχει άπειρο μήκος. Το διάνυσμα Πρότυπο:Math όπου Πρότυπο:Math εκφράζει επίσης το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα κατά μήκος της σπείρας. Εφόσον το Πρότυπο:Mvar είναι το μήκος της καμπύλης, η καμπυλότητα Πρότυπο:Mvar μπορεί να εκφραστεί ως εξής

$\kappa =\frac{1}{R}=\frac{d\theta }{dt}=2t.$

Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της καμπυλότητας σε σχέση με το μήκος της καμπύλης είναι

$\frac{d\kappa }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=2.$

Μια σπείρα Όιλερ έχει την ιδιότητα ότι η καμπυλότητά της σε οποιοδήποτε σημείο είναι ανάλογη της απόστασης κατά μήκος της σπείρας, που μετριέται από την αρχή. Αυτή η ιδιότητα την καθιστά χρήσιμη ως καμπύλη μετάβασης στη μηχανική αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων: αν ένα όχημα ακολουθεί τη σπείρα με μοναδιαία ταχύτητα, η παράμετρος Πρότυπο:Mvar στις παραπάνω παραγώγους αντιπροσωπεύει επίσης τον χρόνο. Κατά συνέπεια, ένα όχημα που ακολουθεί τη σπείρα με σταθερή ταχύτητα θα έχει σταθερό ρυθμό γωνιακής επιτάχυνσης.

Τα τμήματα από τις σπείρες του Όιλερ ενσωματώνονται συνήθως στο σχήμα των βρόχων του οδοστρωτήρα για να δημιουργηθούν οι λεγόμενοι βρόχοι κλωθοειδούς μορφής.

Ιδιότητες

Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι περιττές συναρτήσεις της Πρότυπο:Mvar,

$C(-x)=-C(x),S(-x)=-S(x).$

γεγονός που γίνεται εύκολα αντιληπτό από το ότι τα αναπτύγματα των δυναμοσειρών τους έχουν μόνο όρους περιττού βαθμού, ή εναλλακτικά επειδή είναι αντιπαράγωγα ζυγών συναρτήσεων που είναι επίσης μηδενικές στην αρχή.

Η ασυμπτωτική των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ ως Πρότυπο:Math δίνεται από τους τύπους:

$\begin{array}{cc}S(x)& =\sqrt{\frac{1}{8}\pi }\mathrm{sgn}x-[1+O\left(x^{-4}\right)](\frac{\cos \left(x^2\right)}{2x}+\frac{\sin \left(x^2\right)}{4x^3}),\\ [6px]C(x)& =\sqrt{\frac{1}{8}\pi }\mathrm{sgn}x+[1+O\left(x^{-4}\right)](\frac{\sin \left(x^2\right)}{2x}-\frac{\cos \left(x^2\right)}{4x^3}).\end{array}$

Μιγαδικό ολοκλήρωμα ΦρέσνελΠρότυπο:Math

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω αναπτύγματα δυναμοσειρών, τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να επεκταθούν στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, όπου γίνονται πλήρεις συναρτήσεις της μιγαδικής μεταβλητής Πρότυπο:Mvar.

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση σφάλματος ως εξής:

Μιγαδικό ολοκλήρωμα Φρέσνελ Πρότυπο:Math

$\begin{array}{cc}S(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1+i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)-i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)],\\ [6px]C(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1-i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)+i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)].\end{array}$

ή

$\begin{array}{cc}C(z)+iS(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right),\\ [6px]S(z)+iC(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\cdot \frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).\end{array}$

Όρια καθώς το Πρότυπο:Math πλησιάζει στο άπειρο

Τα ολοκληρώματα που ορίζουν τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math δεν μπορούν να αξιολογηθούν σε κλειστή μορφή ως προς τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Τα όρια αυτών των συναρτήσεων καθώς η Πρότυπο:Mvar πηγαίνει στο άπειρο είναι γνωστά:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \left(t^2\right)dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \left(t^2\right)dt=\frac{\sqrt{2\pi }}{4}=\sqrt{\frac{\pi }{8}}\approx 0.6267.$

Το περίγραμμα του τομέα που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των ορίων των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ

Αυτό μπορεί να προκύψει με οποιαδήποτε από τις διάφορες μεθόδους. Μία από αυτές χρησιμοποιεί ένα ολοκλήρωμα της συνάρτησης $e^{-z^2}$ γύρω από το όριο της τομεακής περιοχής στο μιγαδικό επίπεδο που σχηματίζεται από τον θετικό άξονα Πρότυπο:Math, τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math, και ένα κυκλικό τόξο ακτίνας Πρότυπο:Math με κέντρο την αρχή.

Καθώς το Πρότυπο:Math πηγαίνει στο άπειρο, το ολοκλήρωμα κατά μήκος του κυκλικού τόξου Πρότυπο:Math τείνει στο Πρότυπο:Math

$\left|\underset{{\gamma }_2}{\int }{e}^{-z^2}dz\right|=\left|\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{e}^{-R^2(\cos t+i\sin t{)}^2}R{e}^{it}dt\right|\le R\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{e}^{-R^2\cos 2t}dt\le R\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{e}^{-R^2(1-\frac{4}{\pi }t)}dt=\frac{\pi }{4R}(1-e^{-R^2}),$

όπου χρησιμοποιήθηκαν πολικές συντεταγμένες Πρότυπο:Math και χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα του Ζορντάν για τη δεύτερη ανισότητα. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος του πραγματικού άξονα Πρότυπο:Math τείνει στο μισό γκαουσιανό ολοκλήρωμα

$\underset{{\gamma }_1}{\int }{e}^{-z^2}dz=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

Ας σημειωθεί επίσης ότι επειδή το ολοκλήρωμα είναι μια ολόκληρη συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο, το ολοκλήρωμά του κατά μήκος ολόκληρου του περιγράμματος είναι μηδέν. Συνολικά, πρέπει να έχουμε

$\underset{{\gamma }_3}{\int }{e}^{-z^2}dz=\underset{{\gamma }_1}{\int }{e}^{-z^2}dz=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt,$

όπου Πρότυπο:Math δηλώνει τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου, όπως στο διάγραμμα. Για να αξιολογήσουμε το αριστερό μέρος, παραμετροποιήστε τη διχοτόμο ως εξής

$z=t{e}^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)t$

όπου το Πρότυπο:Mvar κυμαίνεται από 0 έως Πρότυπο:Math. Ας σημειωθεί ότι το τετράγωνο αυτής της έκφρασης είναι απλά Πρότυπο:Math. Επομένως, η αντικατάσταση δίνει την αριστερή πλευρά ως εξής

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i{t}^2}\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)dt.$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Όιλερ για να πάρουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του Πρότυπο:Math το δίνει ως εξής

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\cos \left(t^2\right)-i\sin \left(t^2\right))\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)dt\\ [6px]& =\frac{\sqrt{2}}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\cos \left(t^2\right)+\sin \left(t^2\right)+i(\cos \left(t^2\right)-\sin \left(t^2\right))]dt\\ [6px]& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}+0i,\end{array}$

όπου έχουμε γράψει Πρότυπο:Math για να τονίσουμε ότι η τιμή του αρχικού ολοκληρώματος Γκάους είναι πλήρως πραγματική με μηδενικό φανταστικό μέρος. Αφήνοντας

$I_C=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos \left(t^2\right)dt,I_S=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \left(t^2\right)dt$

και στη συνέχεια εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δύο εξισώσεων στους δύο αγνώστους Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math:

$\begin{array}{cc}{I}_C+I_S& =\sqrt{\frac{\pi }{2}},\\ I_C-I_S& =0.\end{array}$

Η επίλυση για τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Πρότυπο:Collapse bottom

Γενίκευση

Το ολοκλήρωμα

$\int x^m{e}^{i{x}^n}dx=\int \sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^l{x}^{m+nl}}{l!}dx=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}$

είναι μια συγκλίνουσα υπεργεωμετρική συνάρτηση και επίσης μια ατελής συνάρτηση γάμμα Πρότυπο:Sfn

$\begin{array}{cc}\int x^m{e}^{i{x}^n}dx& =\frac{x^{m+1}}{m+1}{}_1{F}_1(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid i{x}^n)\\ [6px]& =\frac{1}{n}{i}^{\frac{m+1}{n}}\gamma (\frac{m+1}{n},-i{x}^n),\end{array}$

το οποίο ανάγεται σε ολοκληρώματα Φρέσνελ αν ληφθούν πραγματικά ή φανταστικά μέρη:

$\int x^m\sin (x^n)dx=\frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}{}_1{F}_2(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\ \frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}).$

Ο πρώτος όρος στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα είναι

${}_1{F}_1(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid i{x}^n)\sim \frac{m+1}{n}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{n}\right)e^{i\pi \frac{m+1}{2n}}{x}^{-m-1},$

και ως εκ τούτου

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^m{e}^{i{x}^n}dx=\frac{1}{n}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{n}\right)e^{i\pi \frac{m+1}{2n}}.$

Για Πρότυπο:Math, το φανταστικό μέρος αυτής της εξίσωσης ειδικότερα είναι

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \left(x^a\right)dx=\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{a})\sin \left(\frac{\pi }{2a}\right),$

με την αριστερή πλευρά να συγκλίνει για Πρότυπο:Math και τη δεξιά πλευρά να είναι η αναλυτική της επέκταση σε όλο το επίπεδο λιγότερο όπου βρίσκονται οι πόλοι της Πρότυπο:Math.

Ο μετασχηματισμός Κούμερ της συγκλίνουσας υπεργεωμετρικής συνάρτησης είναι

$\int x^m{e}^{i{x}^n}dx=V_{n,m}(x)e^{i{x}^n},$

με

$V_{n,m}:=\frac{x^{m+1}}{m+1}{}_1{F}_1(\begin{array}{c}1\\ 1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid -i{x}^n).$

Αριθμητική προσέγγιση

Για υπολογισμό με αυθαίρετη ακρίβεια, η δυναμοσειρά είναι κατάλληλη για μικρό επιχείρημα. Για μεγάλο επιχείρημα, τα ασυμπτωτικά αναπτύγματα συγκλίνουν γρηγορότερα.Πρότυπο:Sfn Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι συνεχιζόμενων κλασμάτων.Πρότυπο:Sfn

Για τον υπολογισμό με συγκεκριμένη ακρίβεια στόχου, έχουν αναπτυχθεί άλλες προσεγγίσεις. Ο CodyΠρότυπο:Sfn ανέπτυξε ένα σύνολο αποτελεσματικών προσεγγίσεων που βασίζονται σε ορθολογικές συναρτήσεις και δίνουν σχετικά σφάλματα μέχρι Πρότυπο:Val. Μια FORTRAN υλοποίηση της προσέγγισης Cody που περιλαμβάνει τις τιμές των συντελεστών που απαιτούνται για την υλοποίηση σε άλλες γλώσσες δημοσιεύθηκε από τον van Snyder.Πρότυπο:Sfn Ο Μπόερσμα ανέπτυξε μια προσέγγιση με σφάλμα μικρότερο από Πρότυπο:Val.Πρότυπο:Sfn

Εφαρμογές

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε ένα περιβάλλον όπου το φως κάμπτεται γύρω από αδιαφανή αντικείμενα.Πρότυπο:Sfn Πιο πρόσφατα, έχουν χρησιμοποιηθεί στο σχεδιασμό αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων, συγκεκριμένα στις ζώνες μετάβασης της καμπυλότητας τους, βλ. καμπύλη μετάβασης τροχιάς.Πρότυπο:Sfn Άλλες εφαρμογές είναι το τρενάκι του λούνα παρκΠρότυπο:Sfn ή ο υπολογισμός των μεταβάσεων σε μια πίστα ποδηλατοδρομίου ώστε να επιτρέπεται η γρήγορη είσοδος στις στροφές και η σταδιακή έξοδος.

Φωτοθήκη

• 
  Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης Φρέσνελ S(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης C(z) του Φρέσνελ στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ G(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
• 
  Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ F(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 7". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Πρότυπο:Cite journal
• Beatty, Thomas (2013). "How to evaluate Fresnel Integrals" (PDF). FGCU Math - Summer 2013. Retrieved 27 July 2013.
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Mathar, R. J. (2012). "Series Expansion of Generalized Fresnel Integrals". arXiv:1211.3963 [math.CA].
• Πρότυπο:Cite web (Uses Πρότυπο:Math instead of Πρότυπο:Math.)
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
• Πρότυπο:Cite journal

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation