Ισοσκελές τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και δύο γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ έχει $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής $\mathrm{A}$ ταυτίζονται.

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες.

Ιδιότητες

Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ η διάμεσος ${\mu }_{\alpha }$, η διχοτόμος ${\delta }_{\alpha }$ και το ύψος του ${\upsilon }_{\alpha }$ ταυτίζονται.

• Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία του Όιλερ του τριγώνου, εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και ύψος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και διάμεσος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διάμεσός του είναι και ύψος.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη είναι ίσα.

• Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διάμεσοι είναι ίσες.

• (Θεώρημα Steiner–Lehmus) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες.

Μετρικές σχέσεις

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\beta }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\alpha }$, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:

• Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$ δίνεται από

${\upsilon }_{\alpha }=\sqrt{{\beta }^2-{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2}$,

• Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο

$\mathrm{E}=\frac{\alpha }{2}\cdot {\upsilon }_{\alpha }=\frac{\alpha }{2}\cdot \sqrt{{\beta }^2-{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2}$ και $\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot {\alpha }^2\cdot \sin \phi$,

όπου $\phi$ η γωνία προσκείμενη στη βάση $\alpha$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο

$R=\frac{{\beta }^2}{2\sqrt{{\beta }^2-{\left(\frac{\alpha }{2}\right)}^2}}$.

Εγγεγραμμένο τετράγωνο $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{H}\mathrm{Z}$ σε ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι

$S=\frac{\alpha \cdot {\upsilon }_{\alpha }}{\alpha +{\upsilon }_{\alpha }}$.

Το θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα λέει ότι $d_1+d_2=\upsilon$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα) Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και ένα σημείο $\mathrm{P}$ της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Αν $d_1$ και $d_2$ είναι οι αποστάσεις του $\mathrm{P}$ από τις $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$, και $\upsilon$ το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$, τότεΠρότυπο:R

$d_1+d_2=\upsilon$.

Ειδικά ισοσκελή τρίγωνα

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Οι προσκείμενες στην υποτείνουσα γωνίες είναι 45°.
• Αν $x$ το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος $x\sqrt{2}$ .
• Το εμβαδόν του είναι $\mathrm{E}=\frac{1}{2}{x}^2$.
• Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }$ στο σχήμα).

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:

• Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
• Όλες οι γωνίες είναι $60^{\circ }$.
• Το εμβαδόν του τριγώνου είναι $\mathrm{E}=\frac{x\sqrt{3}}{4}$, όπου $x$ το μήκος των πλευρών.

Τρίγωνο με γωνίες 30-30-120

Ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με γωνία $\hat{\mathrm{A}}=120^{\circ }$ και $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{\Gamma }}=30^{\circ }$.

To ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με γωνίες $\hat{\mathrm{A}}=120^{\circ }$ και $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{\Gamma }}=30^{\circ }$ έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό. Πρότυπο:Clear

Χρυσό τρίγωνο

Πρότυπο:Multiple image Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές $\phi ,{\phi }^2$ και ${\phi }^2$, όπου $\phi$ η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες, όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

Τρίγωνο με γωνίες 80-80-20

Το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με γωνίες $\hat{\mathrm{A}}=20^{\circ }$ και $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{\Gamma }}=80^{\circ }$ έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του. H Roza Leikin δίνει ισοσκελή τρίγωνα στα οποία ισχύουν γενικεύσεις των ιδιοτήτων αυτών των τριγώνων. Πρότυπο:Clear

Περαιτέρω θέματα

Χορδή $\mathrm{A}\mathrm{B}$ του κύκλου με κέντρο το $\mathrm{O}$.

Χορδή κύκλου

Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής $\mathrm{A}\mathrm{B}$ (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο $\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}$, όπου $\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{B}$ ως ακτίνες του κύκλου. Πρότυπο:Clear

Διαίρεση τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα

Διαίρεση οξυγώνιου τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα.

Ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο $\mathrm{O}$ του περιγεγραμμένου του κύκλου. Πρότυπο:Clear

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και Ρόμβος

Πρότυπο:Multiple image Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{O},\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{O},\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{O}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{O}$.

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Πρότυπο:Clear

Πλακοστρώσεις

Πρότυπο:Multiple image Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120.

Εφαρμογές

Γραφιστική

Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

Αρχιτεκτονική/Μηχανική

Πρότυπο:Multiple image Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

Δείτε επίσης

• Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών
• Ισόπλευρο τρίγωνο
• Ισοσκελές τραπέζιο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με δοσμένες πλευρές.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ύψος, την διάμεσο και την διχοτόμο ενός ισοσκελούς τριγώνου.
• Διαδραστική εφαρμογή για το ισοσκελές τρίγωνο.

Άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal