Εικασία 3^d του Καλάι

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:

Μήπως κάθε d-διάστατο κεντρικά
συμμετρικό πολύτοπο έχει
τουλάχιστον 3d μη κενές επιφάνειες;.

Στη γεωμετρία, και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία των πολυτόπων, η εικασία 3d του Καλάι είναι μια εικασία σχετικά με την πολυεδρική συνδυαστική των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων, που διατυπώθηκε από τον Ζιλ Καλάι το 1989[1]. Δηλώνει ότι κάθε d-διάστατο κεντρικά συμμετρικό πολύτοπο έχει τουλάχιστον 3d μη κενές όψεις (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του πολυτόπου ως όψη, αλλά όχι του κενού συνόλου).

Παραδείγματα

Ο κύβος και το κανονικό οκτάεδρο, δύο παραδείγματα για τα οποία το όριο της εικασίας είναι σφιχτό.

Στις δύο διαστάσεις, τα απλούστερα κεντρικά συμμετρικά κυρτά πολύγωνα είναι τα παραλληλόγραμμα, τα οποία έχουν τέσσερις κορυφές, τέσσερις ακμές και ένα πολύγωνο: Πρότυπο:Nowrap. Ένας κύβος είναι κεντρικά συμμετρικός και έχει 8 κορυφές, 12 ακμές, 6 τετράγωνες πλευρές και 1 στερεό: Πρότυπο:Nowrap.. Ένα άλλο τρισδιάστατο κυρτό πολύεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, είναι επίσης κεντρικά συμμετρικό και έχει 6 κορυφές, 12 ακμές, 8 τριγωνικές πλευρές και 1 στερεό: Πρότυπο:Nowrap.

Σε μεγαλύτερες διαστάσεις, ο υπερκύβος [0, 1]d έχει ακριβώς 3d τρισδιάστατες όψεις, καθεμία από τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί καθορίζοντας, για κάθε έναν από τους d άξονες συντεταγμένων, αν η όψη προβάλλει στον άξονα αυτό στο σημείο 0, στο σημείο 1 ή στο διάστημα [0, 1]. Γενικότερα, κάθε πολύτοπο Χάνερ έχει ακριβώς 3d όψεις. Αν η εικασία του Καλάι είναι αληθής, αυτά τα πολύτοπα θα είναι μεταξύ των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων με τις λιγότερες δυνατές όψεις.[1]

Κατάσταση

Η εικασία είναι γνωστό ότι ισχύει για d≤4.[2]. Είναι επίσης γνωστό ότι ισχύει για τα απλοποιημένα πολύτοπα: στην περίπτωση αυτή προκύπτει από μια εικασία των Ιμρε Μπαράνι και Λάζλο Λοβάς (Πρότυπο:Harvs) ότι κάθε κεντρικά συμμετρικό απλοποιημένο πολύτοπο έχει τουλάχιστον τόσες επιφάνειες κάθε διάστασης όσες και το σταυρωτό πολύτοπο, η οποία αποδείχθηκε από τον Ρίτσαρντ Στάνλεϊ (Πρότυπο:Harvs).[3][4] Πράγματι, αυτές οι δύο προηγούμενες εργασίες αναφέρθηκαν από τον Καλάι ως μέρος της βάσης για την πραγματοποίηση της εικασίας του.[1] Μια άλλη ειδική κατηγορία πολυτόπων για την οποία έχει αποδειχθεί η εικασία είναι τα πολυτόπια Χάνσεν των διαιρεμένων γραφημάτων, τα οποία είχαν χρησιμοποιηθεί από τους Ράγκναρ Φρέι, Ματίας Χένζε και Μόριτζ Σμιτ κ.ά. (Πρότυπο:Harvs) για να διαψεύσουν τις ισχυρότερες εικασίες του Καλάι.[5]

Ειδικές περιπτώσεις

Η εικασία του Άλμπερτσον είναι αληθής με κενό τρόπο για n≤4. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το Kn έχει αριθμό διασταυρώσεων μηδέν, οπότε η εικασία δηλώνει μόνο ότι τα n-χρωματικά γραφήματα έχουν αριθμό διασταυρώσεων μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, κάτι που ισχύει για όλα τα γραφήματα. Η περίπτωση n=5 της εικασίας του Άλμπερτσον είναι ισοδύναμη με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, ότι δηλαδή κάθε επίπεδο γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με τέσσερα ή λιγότερα χρώματα, διότι τα μόνα γραφήματα που απαιτούν λιγότερες διασταυρώσεις από τη μία διασταύρωση του K5 είναι τα επίπεδα γραφήματα, και η εικασία συνεπάγεται ότι όλα αυτά θα πρέπει να είναι το πολύ 4-χρωματικά. Μέσω των προσπαθειών διαφόρων ομάδων συγγραφέων είναι πλέον γνωστό ότι η εικασία ισχύει για όλα τα n≤18 [6] Για κάθε ακέραιο αριθμό c≥6, οι Λουίζ και Ρίχτερ παρουσίασαν μια οικογένεια (c+1)-χρωματικά κρίσιμων γραφημάτων που δεν περιέχουν υποδιαίρεση του πλήρους γράφου Kc+1 αλλά έχουν αριθμό διασταύρωσης τουλάχιστον ίσο με αυτόν του Kc+1.[7]

Η εικασία 3d παραμένει ανοιχτή για αυθαίρετα πολύτοπα σε υψηλότερες διαστάσεις.

Σχετικές εικασίες

Στο ίδιο έργο με αυτό στο οποίο εμφανίζεται η εικασία 3d, ο Καλάι εικάζει με πιο ισχυρό τρόπο ότι το διάνυσμα f κάθε κυρτού κεντρικά συμμετρικού πολυτόπου P κυριαρχεί στο διάνυσμα f τουλάχιστον ενός πολυτόπου Χάνερ H της ίδιας διάστασης. Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε αριθμό i από το 0 έως τη διάσταση του P, ο αριθμός των i-διάστατων όψεων του P είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αριθμό των i-διάστατων όψεων του H. Αν ήταν αληθές, αυτό θα συνεπαγόταν την αλήθεια της 3d εικασίας- ωστόσο, η ισχυρότερη εικασία διαψεύστηκε αργότερα.[2]

Μια σχετική εικασία που επίσης αποδίδεται στον Καλάι είναι γνωστή ως εικασία της πλήρους σημαίας[8] και υποστηρίζει ότι ο κύβος (καθώς και κάθε ένα από τα πολύτοπα Χάνερ) έχει τον μέγιστο αριθμό (πλήρων) σημαιών, δηλαδή d!2d, μεταξύ όλων των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων.[9]

Τέλος, τόσο η εικασία του 3d όσο και η εικασία της πλήρους σημαίας[10] μερικές φορές λέγεται ότι είναι συνδυαστικά ανάλογα της εικασίας του Μαχλέρ. Και οι τρεις εικασίες ισχυρίζονται ότι τα πολύτοπα Χάνερ ελαχιστοποιούν ορισμένα συνδυαστικά ή γεωμετρικά μεγέθη, έχουν επιλυθεί σε παρόμοιες ειδικές περιπτώσεις, αλλά είναι ευρέως ανοικτές γενικά. Ειδικότερα, η εικασία της πλήρους σημαίας έχει επιλυθεί σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις με τη χρήση γεωμετρικών τεχνικών.[11]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πρότυπο:Refend

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Πρότυπο:Citation.
  2. ↑ 2,0 2,1 Πρότυπο:Citation/
  3. ↑ Πρότυπο:Citation.
  4. ↑ Πρότυπο:Citation.
  5. ↑ Πρότυπο:Citation.
  6. ↑ Πρότυπο:Harvtxt; Πρότυπο:Harvtxt; Πρότυπο:Harvtxt; Πρότυπο:Harvtxt.
  7. ↑ Πρότυπο:Harvtxt.
  8. ↑ Πρότυπο:Cite web
  9. ↑ Senechal, M. (Ed.). (2013). Shaping space: exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination. Springer Science & Business Media. Chapter 22.10
  10. ↑ Πρότυπο:Cite book
  11. ↑ Faifman, D., Vernicos, C., & Walsh, C. (2023). Volume growth of Funk geometry and the flags of polytopes. arXiv preprint arXiv:2306.09268.
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασία_3%5Ed_του_Καλάι&oldid=3088»