Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Είναι ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

Ιδιότητες

• Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°.
• Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.Πρότυπο:R

Μετρικές σχέσεις

Έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:

• Το ύψος του έχει μήκος:

$\upsilon =\frac{\alpha \cdot \sqrt{3}}{2}$.

• Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$R=\frac{2}{3}\cdot \upsilon =\frac{\alpha \cdot \sqrt{3}}{3}$.

• Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

$\rho =\frac{1}{3}\cdot \upsilon =\frac{\alpha \cdot \sqrt{3}}{6}$.

• Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με:

${\rho }_{\mathrm{\alpha }}={\rho }_{\mathrm{\beta }}={\rho }_{\mathrm{\gamma }}=\frac{\alpha \cdot \sqrt{3}}{2}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm{E}=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε δοσμένο κύκλο.

1. Χαράζουμε μία ευθεία $\epsilon$ στο επίπεδο.
2. Χαράζουμε έναν κύκλο $C_1$ με κέντρο πάνω στην ευθεία $\epsilon$.
3. Από ένα από τα δύο σημεία τομής του $C_1$ και της $\epsilon$, χαράζουμε έναν δεύτερο κύκλο $C_2$ με την ίδια ακτίνα.
4. Έστω ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ τα σημεία τομής των κύκλων $C_1$ και $C_2$.
5. Έστω ${\mathrm{T}}_{\mathrm{3}}$ το άλλο σημείο τομής του κύκλου $C_1$ και της ευθείας $\epsilon$
6. Το τρίγωνο ${\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}_{\mathrm{3}}$ είναι ισόπλευρο.

Σχετικά θεωρήματα

• (Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ)
  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα Μόρλεϊ λέει ότι το σκιασμένο τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

• (Θεώρημα van Schooten)
  Έστω $\mathrm{P}$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.Τότε ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.

Το θεώρημα van Schooten, λέει ότι $\mathrm{P}\mathrm{A}=\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$.

• (Θεώρημα Βιβιάνι)
  Έστω $\mathrm{P}$ ένα εσωτερικό σημείο ενός ισοπλεύρου τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ τότε

$d_1+d_2+d_3=\upsilon$,

όπου $d_1,d_2,d_3$ οι αποστάσεις του $\mathrm{P}$ από τις πλευρές του τριγώνου και $\upsilon$ το ύψος του τριγώνου.

Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι $d_1+d_2+d_3=\upsilon$.

• (Θεώρημα Μέμπιους-Pompeiu) Για κάθε ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και σημείο $\mathrm{P}$ υπάρχει τρίγωνο (πιθανώς εκφυλισμένο) με μήκη πλευρών ίσα με $\mathrm{P}\mathrm{A},\mathrm{P}\mathrm{B},\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$.

Παράδειγμα τριγώνου που δημιουργείται από τις αποστάσεις $\mathrm{P}\mathrm{A},\mathrm{P}\mathrm{B},\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }$ ως συνέπεια του θεωρήματος Μέμπιους-Pompeiu.

• (Σημείο Φερμά)
  Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (όπου όλες οι γωνίες είναι μικρότερες από $120^{\circ }$) το σημείο $\mathrm{F}$ που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων του από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή το $\mathrm{F}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{B}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{\Gamma }$ είναι το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$ με τις αντίστοιχες κορυφές των εξωτερικών ισοπλεύρων τριγώνων του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Το σημείο Φερμά $\mathrm{F}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

• (Θεώρημα Ναπολέοντα)
  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Το θεώρημα Ναπολέοντα λέει ότι το ${\mathrm{O}}_{\mathrm{A}}{\mathrm{O}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{O}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι ισόπλευρο.

Σχετικά προβλήματα

Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό

Από όλα τα τρίγωνα με την ίδια περίμετρο, το ισόπλευρο τρίγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία $15^o$ είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο. Πρότυπο:Multiple image

Πακετάρισμα κύκλων

Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.

Το μικρότερο ισόπλευρο τρίγωνο με τέσσερις κύκλους έχει πλευρά $4\sqrt{3}$.

Πλακόστρωση

Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Πλακόστρωση με ισόπλευρα τρίγωνα.

Σχετικά σχήματα

Τρίγωνο με γωνίες 90°-60°-30°

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

• Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
• Το τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{\Gamma }$ είναι ισόπλευρο.
• Τα μήκη των πλευρών έχουν αναλογία $1:\sqrt{3}:2$.

Τρίγωνο με γωνίες 90°,60°,30°. Το $\mathrm{M}$ είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Κανονικό εξάγωνο

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Το εξάγωνο χωρισμένο σε έξι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Κανονικό τετράεδρο

Κάθε έδρα στο κανονικό τετράεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Κανονικό πολύγωνο