Ολοκληρώματα του Γουάλις

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην ανάλυση, τα ολοκληρώματα του Γουάλις αποτελούν μια οικογένεια ολοκληρωμάτων που εισήγαγε ο Τζον Γουάλις.

Ορισμός, βασικές ιδιότητες

Ο Τζον Γουόλις, από τον Γκοντφρέι Κνέλερ.

Τα ολοκληρώματα του Γουάλις είναι οι όροι της ακολουθίας $(W_n{)}_{n\ge 0}$ που ορίζεται από τη σχέση

$W_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx,$

ή ισοδύναμα,

$W_n=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx.$

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας είναι:

$W_0$	$W_1$	$W_2$	$W_3$	$W_4$	$W_5$	$W_6$	$W_7$	$W_8$	...	$W_n$
$\frac{\pi }{2}$	$1$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3\pi }{16}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{5\pi }{32}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{35\pi }{256}$	...	$\frac{n-1}{n}{W}_{n-2}$

Η ακολουθία $(W_n)$ είναι φθίνουσα και έχει θετικούς όρους. Στην πραγματικότητα, για όλα τα $n\ge 0:$

• $W_n>0,$ επειδή είναι ένα ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν,

• $W_n-W_{n+1}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n+1}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}({\sin }^{n}x)(1-\sin x)dx>0,$ και πάλι επειδή το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι μια μη αρνητική συνεχής συνάρτηση.

Δεδομένου ότι η ακολουθία $(W_n)$ είναι φθίνουσα και περιορίζεται κάτω από το 0, συγκλίνει σε ένα μη αρνητικό όριο. Πράγματι, το όριο είναι μηδέν (βλέπε παρακάτω).

Σχέση επανάληψης

Μέσω της ολοκλήρωσης κατά μέρη, μπορεί να προκύψει ένας τύπος αναγωγής. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, έχουμε για όλα τα $n\ge 2$,

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}({\sin }^{n-2}x)(1-{\cos }^{2}x)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}xdx-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx.\text{Equation (1)}\end{array}$

Ολοκληρώνοντας το δεύτερο ολοκλήρωμα κατά μέρη, με:

• $v^{\prime }(x)=\cos (x){\sin }^{n-2}(x)$, του οποίου η αντιπαράγωγος είνα $v(x)=\frac{1}{n-1}{\sin }^{n-1}(x)$

• $u(x)=\cos (x)$, του οποίου η παράγωγος είναι $u^{\prime }(x)=-\sin (x),$

έχουμε

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx={[\frac{{\sin }^{n-1}x}{n-1}\cos x]}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{n-1}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n-1}x\sin xdx=0+\frac{1}{n-1}{W}_n.$

Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην εξίσωση (1) προκύπτει

$W_n=W_{n-2}-\frac{1}{n-1}{W}_n,$

και ως εκ τούτου

$W_n=\frac{n-1}{n}{W}_{n-2},\text{Equation (2)}$

για όλα τα $n\ge 2.$

Πρόκειται για μια αναδρομική σχέση που δίνει το $W_n$ ως προς το $W_{n-2}$. Αυτό, μαζί με τις τιμές των $W_0$ και $W_1,$ μας δίνουν δύο σύνολα τύπων για τους όρους της ακολουθίας $(W_n)$, ανάλογα με το αν το $n$ είναι μονό ή ζυγό:

• $W_{2p}=\frac{2p-1}{2p}\cdot \frac{2p-3}{2p-2}\cdots \frac{1}{2}{W}_0=\frac{(2p-1)!!}{(2p)!!}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2},$

• $W_{2p+1}=\frac{2p}{2p+1}\cdot \frac{2p-2}{2p-1}\cdots \frac{2}{3}{W}_1=\frac{(2p)!!}{(2p+1)!!}=\frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!}.$

Μια άλλη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων του Γουόλις

Τα ολοκληρώματα του Γουάλις μπορούν να αξιολογηθούν με τη χρήση ολοκληρωμάτων Όιλερ:

1. Το ολοκλήρωμα Όιλερ πρώτου είδους: η συνάρτηση βήτα:

   $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$ για Πρότυπο:Math

2. Ολοκλήρωμα Όιλερ του δεύτερου είδους: η συνάρτηση Γάμμα:

   $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$ για Πρότυπο:Math.

Αν κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση μέσα στη συνάρτηση βήτα: $\{\begin{array}{c}t={\sin }^{2}u\\ 1-t={\cos }^{2}u\\ dt=2\sin u\cos udu\end{array},$
παίρνουμε:

$\mathrm{B}(a,b)=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2a-1}u{\cos }^{2b-1}udu,$

έτσι αυτό μας δίνει την ακόλουθη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων Γουόλις:

$W_n=\frac{1}{2}\mathrm{B}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{2\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}.$

Έτσι, για περιττά $n$, γράφοντας $n=2p+1$, έχουμε:

$W_{2p+1}=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{2\mathrm{\Gamma }(p+1+\frac{1}{2})}=\frac{p!\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{(2p+1)\mathrm{\Gamma }(p+\frac{1}{2})}=\frac{2^{p}p!}{(2p+1)!!}=\frac{2^{2p}(p!{)}^2}{(2p+1)!},$

ενώ για άρτιο $n$, γράφοντας $n=2p$ και γνωρίζοντας ότι $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$, έχουμε :

$W_{2p}=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{2\mathrm{\Gamma }(p+1)}=\frac{(2p-1)!!\pi }{2^{p+1}p!}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}.$

Ισοδυναμία

• Από τον παραπάνω τύπο αναδρομής $\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

$W_{n+1}\sim W_n$ (ισοδυναμία δύο ακολουθιών).

Πράγματι, για όλα τα $n\in \mathbb{N}$ :

$W_{n+2}⩽W_{n+1}⩽W_n$ (αφού η ακολουθία είναι φθίνουσα)

$\frac{W_{n+2}}{W_n}⩽\frac{W_{n+1}}{W_n}⩽1$ (από το $W_n>0$)

$\frac{n+1}{n+2}⩽\frac{W_{n+1}}{W_n}⩽1$ (με την εξίσωση $\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}$).

Από το Κριτήριο παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι $\frac{W_{n+1}}{W_n}\to 1$, και επομένως $W_{n+1}\sim W_n$.

• Εξετάζοντας το $W_n{W}_{n+1}$, προκύπτει η ακόλουθη ισοδυναμία:

$W_n\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n}}$ (και κατά συνέπεια $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{W}_n=\sqrt{\pi /2}$ ).

Απόδειξη

Για όλα τα $n\in \mathbb{N}$, έστω $u_n=(n+1)W_n{W}_{n+1}$.

Αποδεικνύεται ότι, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=u_n$ λόγω της εξίσωσης $\mathbf{(}\mathrm{𝟐}\mathbf{)}$. Με άλλα λόγια $(u_n)$ είναι μια σταθερά.

Προκύπτει ότι για όλα τα $n\in \mathbb{N}$, $u_n=u_0=W_0{W}_1=\frac{\pi }{2}$.

Τώρα, αφού $n+1\sim n$ and $W_{n+1}\sim W_n$, έχουμε, σύμφωνα με τους κανόνες του γινομένου των ισοδυνάμων, $u_n\sim n{W}_n^2$.

Κατά συνέπεια, $n{W}_n^2\sim \frac{\pi }{2}$, από το οποίο προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα (επισημαίνοντας ότι $W_n>0$).

Εξαγωγή του τύπου του Στίρλινγκ

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη ισοδυναμία (γνωστή ως τύπος Στίρλινγκ):

$n!\sim C\sqrt{n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n,$

για κάποια σταθερά $C$ που θέλουμε να προσδιορίσουμε. Από τα παραπάνω, έχουμε

$W_{2p}\sim \sqrt{\frac{\pi }{4p}}=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{p}}$ (equation (3))

Αναπτύσσοντας το $W_{2p}$ και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα παραγοντικά, έχουμε

$\begin{array}{cc}{W}_{2p}& =\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & \sim \frac{C{\left(\frac{2p}{e}\right)}^{2p}\sqrt{2p}}{2^{2p}{C}^2{\left(\frac{p}{e}\right)}^{2p}{\left(\sqrt{p}\right)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{\pi }{C\sqrt{2p}}.\text{ (equation (4))}\end{array}$

Από τα (3) και (4), προκύπτει από τη μεταβατικότητα:

$\frac{\pi }{C\sqrt{2p}}\sim \frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{p}}.$

Λύνοντας για το $C$ προκύπτει $C=\sqrt{2\pi }.$ Με άλλα λόγια,

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Αφαίρεση του διπλού παραγοντικού λόγου

Ομοίως, από τα παραπάνω, έχουμε:

Αντίστοιχα, από τα παραπάνω, έχουμε:

$W_{2p}\sim \sqrt{\frac{\pi }{4p}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{p}}.$

Αναπτύσσοντας το $W_{2p}$ και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα διπλά παραγοντικά, παίρνουμε:

$W_{2p}=\frac{(2p-1)!!}{(2p)!!}\cdot \frac{\pi }{2}\sim \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{p}}.$

Απλοποιώντας, προκύπτει:

$\frac{(2p-1)!!}{(2p)!!}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi p}},$

ή

$\frac{(2p)!!}{(2p-1)!!}\sim \sqrt{\pi p}.$

Εκτίμηση του ολοκληρώματος Γκάους

Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα μπορεί να εκτιμηθεί μέσω της χρήσης των ολοκληρωμάτων του Γουάλις.

Αποδεικνύουμε πρώτα τις ακόλουθες ανισότητες:

• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\forall }u\in {ℝ}_{+}u⩽n\Rightarrow (1-u/n{)}^n⩽e^{-u}$
• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{\forall }u\in {ℝ}_{+}{e}^{-u}⩽(1+u/n{)}^{-n}$

Στην πραγματικότητα, αφήνοντας $u/n=t$, η πρώτη ανισότητα (στην οποία $t\in [0,1]$) είναι ισοδύναμη με $1-t⩽e^{-t}$, ενώ η δεύτερη ανισότητα ανάγεται στη σχέση $e^{-t}⩽(1+t{)}^{-1}$,

η οποία γίνεται $e^t⩾1+t$. Αυτές οι 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτουν από την κυρτότητα της εκθετικής συνάρτησης (ή από την ανάλυση της συνάρτησης $t\mapsto e^t-1-t$).

Αφήνοντας $u=x^2$ και κάνοντας χρήση των βασικών ιδιοτήτων των ακατάλληλων ολοκληρωμάτων (η σύγκλιση των ολοκληρωμάτων είναι προφανής), λαμβάνουμε τις ανισότητες:

$\underset{0}{\overset{\sqrt{n}}{\int }}(1-x^2/n{)}^{n}dx⩽\underset{0}{\overset{\sqrt{n}}{\int }}{e}^{-x^2}dx⩽\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx⩽\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(1+x^2/n{)}^{-n}dx$ για χρήση με το κριτήριο παρεμβολής (ως $n\to \mathrm{\infty }$).

Το πρώτο και το τελευταίο ολοκλήρωμα μπορούν να αξιολογηθούν εύκολα χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα του Γουάλις. Για το πρώτο, έστω $x=\sqrt{n}\sin t$ (t που κυμαίνεται από 0 έως $\pi /2$). Τότε, το ολοκλήρωμα γίνεται $\sqrt{n}{W}_{2n+1}$. Για το τελευταίο ολοκλήρωμα, έστω $x=\sqrt{n}\tan t$ (το t κυμαίνεται από $0$ to $\pi /2$). Τότε, γίνεται $\sqrt{n}{W}_{2n-2}$.

Όπως έχουμε δείξει προηγουμένως, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{W}_n=\sqrt{\pi /2}$. Έτσι, προκύπτει ότι $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }/2$

Παρατήρηση: Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για την αξιολόγηση του γκαουσιανού ολοκληρώματος. Ορισμένες από αυτές είναι πιο άμεσες.

Σημείωση

Οι ίδιες ιδιότητες οδηγούν στο γινόμενο Γουάλις, το οποίο εκφράζει $\frac{\pi }{2}$ (βλ. $\pi$) με τη μορφή ενός άπειρου γινομένου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation. In particular chapters III and IV.
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Πρότυπο:Webarchive
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation