Θεώρημα τεμνομένων χορδών

Το θεώρημα τεμνομένων χορδών λέει ότι $\mathrm{A}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Delta }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα τεμνομένων χορδών λέει ότι για δύο χορδές $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ ενός κύκλου που τέμνονται στο σημείο $\mathrm{I}$, ισχύει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\mathrm{A}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Delta }$.

Το θεώρημα είναι ειδική περίπτωση της δύναμης σημείου ως προς κύκλου. Το θεώρημα είναι η πρόταση 35 στο Βιβλίο 3 στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος: Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ τέμνονται στο σημείο $\mathrm{I}$ και ισχύει ότι $\mathrm{A}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{\cdot }\mathrm{I}\mathrm{\Delta }$, τότε τα σημεία $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Delta }$ είναι ομοκυκλικά.Πρότυπο:R Πρότυπο:Clear

Πορίσματα

• Έστω $\mathrm{I}$ το σημείο μίας χορδής $\mathrm{A}\mathrm{B}$ ενός κύκλου με κέντρο $\mathrm{O}$ και ακτίνα $r$. Τότε, $\mathrm{A}\mathrm{I}\cdot \mathrm{I}\mathrm{B}=r^2-{\mathrm{O}\mathrm{I}}^2$.

• (Μήκος εσωτερικής διχοτόμου) Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ το μήκος της εσωτερικής διχοτόμου ${\delta }_{\mathrm{A}}$ δίνεται από τον τύπο

${\delta }_{\mathrm{A}}=\sqrt{\beta \gamma \cdot (1-\frac{{\alpha }^2}{(\beta +\gamma {)}^2})}$.

Δείτε επίσης

• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο
• Θεώρημα τεμνουσών
• Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης