Τετράπλευρο

Πρότυπο:Multiple image Στην γεωμετρία, το τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυφές και τέσσερις πλευρές. Ένα τετράπλευρο με κυρτό χωρίο λέγεται κυρτό τετράπλευρο. Ένα τετράπλευρο του οποίου οι μη-διαδοχικές πλευρές δεν τέμνονται, λέγεται απλό.

Ταξινόμηση

Ταξινόμηση τετραπλεύρων

Τα τετράπλευρα μπορούν να ταξινομηθούν βάσει διαφόρων κριτηρίων όπως την κυρτότητα του χωρίου, την παραλληλία των πλευρών και την ισότητα γωνιών ή πλευρών, την καθετότητα των διαγωνίων του, κ.ά.

Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι συγκεκριμένα οι παρακάτω:

• Τραπέζιο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
• Ισοσκελές τραπέζιο: ένα τραπέζιο όπου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
• Ορθογώνιο τραπέζιο: ένα τραπέζιο με δύο ορθές γωνίες προσκείμενες σε μία μη-παράλληλη πλευρά.
• Παραλληλόγραμμο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες (και ίσες).
• Ορθογώνιο: ένα παραλληλόγραμμο με τέσσερις ορθές γωνίες.
• Ρόμβος: ένα παραλληλόγραμμο όπου όλες του οι πλευρές είναι ίσες.
• Τετράγωνο: ένα παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Είναι το κανονικό τετράπλευρο, καθώς έχει όλες του τις πλευρές και τις γωνίες ίσες.
• Ορθοδιαγώνιο: ένα τετράπλευρο όπου οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.
• δελτοειδές: ένα τετράπλευρο με τις γειτονικές πλευρές ίσες ανά δύο.
• Εγγράψιμο: ένα τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• Περιγράψιμο: ένα τετράπλευρο για το οποίο υπάρχει κύκλος που εφάπτεται σε όλες του τις πλευρές. Αν ο κύκλος είναι εξωτερικός, τότε λέγεται περιγεγραμμένο.

Βασικές ιδιότητες

• Σε κάθε απλό τετράπλευρο το άθροισμα των γωνιών του είναι $360^{\circ }$.

Απλό κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ με τις διαγωνίους του $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$.

• Κάθε τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους.
• Σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι δύο διαγώνιοι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου.

Εμβαδόν

Έστω ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$. Υπάρχουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του:

• (Τύπος Bretschneider) Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ισούται με

$\mathrm{E}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\frac{1}{2}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos (\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}))}$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου.

• (Τύπος Βραχμαγκούπτα) Στην ειδική περίπτωση που το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (και $\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}=180^{\circ }$), ο τύπος απλοποείται σε

$\mathrm{E}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}$.

• Αν $p=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $q=\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ τα μήκη των διαγωνίων του και $\phi$ η μεταξύ τους γωνία, τότε

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}pq\sin \phi$.

• Στην ειδική περίπτωση των ορθοδιαγώνιων τετραπλεύρων (όπου $\phi =90^{\circ }$), ο τύπος απλοποιείται σε

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}pq$.

• Έστω $\overrightarrow{p}$ και $\overrightarrow{q}$ τα διανύσματα των διαγωνίων του τετράπλευρου, τότε το εμβαδόν του ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου τους,

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|$.

• Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι αν $\mathrm{A}=(x_1,y_1)$, $\mathrm{B}=(x_2,y_2)$, $\mathrm{\Gamma }=(x_3,y_3)$ και $\mathrm{\Delta }=(x_4,y_4)$, τότε

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}|(x_3-x_1)\cdot (y_4-y_2)-(x_4-x_2)\cdot (y_3-y_1)|$.

• Από όλα τα τετράπλευρα με την ίδια περίμετρο, το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν.

Διαγώνιοι

Για τις διαγώνιους $p=\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $q=\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ του τετράπλευρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• Από τον νόμο των συνημιτόνων, σε ένα κυρτό πολύγωνο, ισχύει ότι

$p=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \cos \hat{\mathrm{B}}}=\sqrt{{\gamma }^2+{\delta }^2-2\gamma \delta \cos \hat{\mathrm{\Delta }}}$,

και

$q=\sqrt{{\alpha }^2+{\delta }^2-2\alpha \delta \cos \hat{\mathrm{A}}}=\sqrt{{\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \cos \hat{\mathrm{\Gamma }}}$.

• Το γινόμενο των διαγωνίων δίνεται από τον τύπο

$p^2{q}^2={\alpha }^2{\gamma }^2+{\beta }^2{\delta }^2-2\alpha \beta \gamma \delta \cos (\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}).$

• (Θεώρημα Όιλερ) Σε ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι

${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+{\delta }^2=p^2+q^2+4\cdot {\mathrm{M}\mathrm{N}}^2$,

όπου $\mathrm{M},\mathrm{N}$ τα μέσα των διαγωνίων του $p$ και $q$ αντίστοιχα.

• Η γωνία $\phi$ μεταξύ των διαγωνίων ικανοποιείΠρότυπο:Rp

$\cos \phi =\frac{{\alpha }^2+{\gamma }^2-{\beta }^2-{\delta }^2}{2pq}$.

• Η τομή των διαγωνίων είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί την απόσταση προς τις κορυφές του τετράπλευρου, και επομένως είναι το σημείο Φερμά του τετράπλευρου.

Ευθεία του Νεύτωνα: η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ σε ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

• (Ευθεία Νεύτωνα) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετράπλευρου (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) είναι η ευθεία που περιέχει τα μέσα των διαγωνίων της, και επίσης περιέχει το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέει τα μέσα των απέναντι πλευρών της.

Θεώρημα του Anne: Το άθροισμα των πράσινων και μπλε εμβαδών είναι ίσο ανν το σημείο $\mathrm{P}$ ανήκει στην ευθεία Νεύτωνα.

• (Θεώρημα Anne) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{P}$ που ικανοποιούν την εξής σχέση

${\mathrm{E}}_{\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{B}}+{\mathrm{E}}_{\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}={\mathrm{E}}_{\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}+{\mathrm{E}}_{\mathrm{P}\mathrm{\Delta }\mathrm{A}}$.

Ανισοτικές σχέσεις

• (Ανισότητα Πτολεμαίου) Σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ το γινόμενο των διαγωνίων του είναι μικρότερο από το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών τουΠρότυπο:Rp

$\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\cdot }\mathrm{B}\mathrm{\Delta }<\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\cdot }\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\cdot }\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$.

• Για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο $\mathrm{P}$ ενός κυρτού τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι

$\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{\Delta }\mathrm{\le }\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}\mathrm{+}\mathrm{\Delta }\mathrm{P}$

• Από το θεώρημα του Όιλερ, έπεται ότι

$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\ge }\mathrm{A}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}$.

Διχοτόμοι

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

Μέσα

Παραλληλόγραμμο Βαρινιόν: Τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

• (Θεώρημα Βαρινιόν) Σε ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ τα μέσα ${\mathrm{M}}_1,{\mathrm{M}}_2,{\mathrm{M}}_3,{\mathrm{M}}_4$ των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τετράγωνο
• Πολύγωνο